9th Class Math Chapter 9 Notes

س1 — کیا کیوبائیڈ متشابہ ہیں؟ اضلاع $3,4,5$ اور $4.5,6,7.5$

چیک کریں کہ کیا دونوں ٹھوس اجسام متشابہ ہیں۔

1. نسبتیں موازنہ کریں: $\frac{4.5}{3}=1.5$، $\frac{6}{4}=1.5$، $\frac{7.5}{5}=1.5$ — سب برابر۔

Answer: جی ہاں، متشابہ (تناسبی عامل $1.5$)

س2 — $△ABC\sim △DEF$: $DF,EF$ معلوم کریں

$AB=12,AC=20,BC=16$ سینٹی میٹر؛ $DE=6$ سینٹی میٹر۔ $DF$ اور $EF$ معلوم کریں۔

1. تناسبی عامل $=\frac{DE}{AB}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$۔
2. $DF=AC\times \frac{1}{2}=10$؛ $EF=BC\times \frac{1}{2}=8$۔

Answer: $DF=10$ سینٹی میٹر؛ $EF=8$ سینٹی میٹر

س3 — $x$ معلوم کریں: قائمہ زاویے $A,C$ پر؛ $AE=7.5,EC=3,DC=1.2$

$x=AB$ معلوم کریں۔

1. $△ABE\sim △DCE$ (AA: قائمہ زاویے $A,C$ پر، عمودی زاویے $E$ پر)۔
2. $\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow \frac{x}{1.2}=\frac{7.5}{3}$۔

Answer: $x=3$ سینٹی میٹر

س4 — $x$ معلوم کریں: $△BCD$، $EF\parallel CD$، $BE=6,BF=8,FD=3$

$x=EC$ معلوم کریں۔

1. $△BEF\sim △BCD$: $\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BD}$۔
2. $BD=BF+FD=11$؛ $\frac{6}{6+x}=\frac{8}{11}\Rightarrow 66=48+8x$۔

Answer: $x=2.25$ سینٹی میٹر

س5 — $x$ معلوم کریں: برابر زاویے $C,F$ پر؛ $CE=2.5,EF=2.4,FG=2.1$

$x=CD$ معلوم کریں۔

1. $△CDE\sim △FGE$ (AA: برابر زاویے $C,F$ پر، عمودی زاویے $E$ پر)۔
2. $\frac{CD}{FG}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow \frac{x}{2.1}=\frac{2.5}{2.4}$۔

Answer: $x=2.1875$ سینٹی میٹر

ع1 — تختے کے نیچے صندوق کی چوڑائی

تختہ قائمہ زاویہ مثلث بناتا ہے (قاعدہ $20$ سینٹی میٹر، اونچائی $16$ سینٹی میٹر)؛ $8$ سینٹی میٹر اونچا صندوق اسے چھوتا ہے۔ صندوق کی چوڑائی $x$ معلوم کریں۔

1. قائمہ زاویہ مبدا پر رکھیں، تختہ $(0,16)$ سے $(20,0)$ تک: ڈھلوان $=-\frac{16}{20}=-\frac{4}{5}$۔
2. $y=8$ پر: $8=16-\frac{4}{5}x\Rightarrow \frac{4}{5}x=8$۔

Answer: $x=10$ سینٹی میٹر

ع2 — سائے سے ٹیلی فون کھمبے کی اونچائی

$1.8$ میٹر آدمی کا سایہ $0.76$ میٹر ہے؛ کھمبے کا سایہ $3$ میٹر ہے۔ کھمبے کی اونچائی معلوم کریں۔

1. متشابہ مثلثیں (وہی سورج کا زاویہ): $\frac{h}{3}=\frac{1.8}{0.76}$۔
2. $h=\frac{1.8\times 3}{0.76}=\frac{5.4}{0.76}=\frac{135}{19}$۔

Answer: $h\approx 7.11$ میٹر

س6 — $x,y,z$ معلوم کریں: ضلع $=10$، وتر کے حصے $6$ اور $x$

قائمہ زاویے سے عمود وتر کو $6$ (ضلع-10 کی طرف) اور $x$ میں تقسیم کرتا ہے؛ $y=$ عمود، $z=$ دوسرا ضلع۔

1. ضلع${}^2=$ (متصل حصہ)$\times$(پورا وتر): $10^2=6(6+x)\Rightarrow 100=36+6x\Rightarrow x=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$۔
2. $y^2=$ حصوں کا حاصل ضرب $=6x=6\times \frac{32}{3}=64\Rightarrow y=8$۔
3. $z^2=x(6+x)=\frac{32}{3}\times \frac{50}{3}=\frac{1600}{9}\Rightarrow z=\frac{40}{3}$۔
4. چیک: $10^2+{\left(\frac{40}{3}\right)}^2=100+\frac{1600}{9}=\frac{2500}{9}={\left(\frac{50}{3}\right)}^2$ ✓

Answer: $x=\frac{32}{3}$ سینٹی میٹر، $y=8$ سینٹی میٹر، $z=\frac{40}{3}$ سینٹی میٹر

س7 — بارہ اضلاع $\frac{1}{\sqrt{2}}$ سے چھوٹا، اصل احاطہ $72$

نیا ضلع معلوم کریں۔

1. اصل ضلع $=\frac{72}{12}=6$ سینٹی میٹر۔
2. نیا ضلع $=6\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$۔

Answer: $3\sqrt{2}\approx 4.24$ سینٹی میٹر

س8(i) — لمبائی نسبت $1:3$ کے لیے رقبہ نسبت

رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=1^2:3^2$۔

Answer: $1:9$

س8(ii) — لمبائی نسبت $3:4$ کے لیے رقبہ نسبت

رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=3^2:4^2$۔

Answer: $9:16$

س8(iii) — لمبائی نسبت $2:7$ کے لیے رقبہ نسبت

رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=2^2:7^2$۔

Answer: $4:49$

س8(iv) — لمبائی نسبت $8:9$ کے لیے رقبہ نسبت

رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=8^2:9^2$۔

Answer: $64:81$

س8(v) — لمبائی نسبت $6:5$ کے لیے رقبہ نسبت

رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=6^2:5^2$۔

Answer: $36:25$

س9(i) — مستطیل، اضلاع $10,6$؛ $A_1=240$

$A_2$ معلوم کریں۔

1. ${\left(\frac{10}{6}\right)}^2=\frac{A_1}{A_2}\Rightarrow \frac{100}{36}=\frac{240}{A_2}$۔

Answer: $A_2=86.4$ سینٹی میٹر مربع

س9(ii) — مثلثیں، اضلاع $15,20$؛ $A_1=60$

$A_2$ معلوم کریں۔

1. ${\left(\frac{15}{20}\right)}^2=\frac{9}{16}=\frac{60}{A_2}$۔

Answer: $A_2=\frac{960}{9}\approx 106.67$ سینٹی میٹر مربع

س9(iii) — ذوزنقے، اضلاع $3.6,5.76$؛ $A_2=18$

$A_1$ معلوم کریں۔

1. $\frac{3.6}{5.76}=\frac{5}{8}$؛ ${\left(\frac{5}{8}\right)}^2=\frac{25}{64}=\frac{A_1}{18}$۔

Answer: $A_1=\frac{450}{64}=7.03125$ سینٹی میٹر مربع

س9(iv) — مخروط، ترچھی لمبائیاں $15,12$؛ $A_2=96$

$A_1$ معلوم کریں۔

1. ${\left(\frac{15}{12}\right)}^2=\frac{25}{16}=\frac{A_1}{96}$۔

Answer: $A_1=150$ سینٹی میٹر مربع

س9(v) — مثلثیں، ${\ell }_1=3$؛ $A_1=3\frac{4}{7},A_2=63$: ${\ell }_2$ معلوم کریں

${\ell }_2$ معلوم کریں۔

1. $A_1=\frac{25}{7}$؛ ${\left(\frac{3}{{\ell }_2}\right)}^2=\frac{25/7}{63}=\frac{25}{441}$۔
2. ${\ell }_2^2=\frac{9\times 441}{25}=\frac{3969}{25}\Rightarrow {\ell }_2=\frac{63}{5}$۔

Answer: ${\ell }_2=12.6$ سینٹی میٹر

س10(i) — $△ADE$ کا رقبہ: $BC\parallel DE$، رقبہ $ABC=36$، $AB=6,BD=4$

$D,E$، $AB,AC$ کی توسیع پر ہیں۔ $△ADE$ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. $AD=AB+BD=10$؛ $△ABC\sim △ADE$ تناسب $\frac{AD}{AB}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ کے ساتھ۔
2. رقبہ نسبت $={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$؛ رقبہ $ADE=36\times \frac{25}{9}$۔

Answer: $100$ سینٹی میٹر مربع

س10(ii) — ذوزنقہ $BCED$ کا رقبہ

انہی اعداد و شمار سے، ذوزنقہ $BCED$ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ $BCED=$ رقبہ $ADE-$ رقبہ $ABC=100-36$۔

Answer: $64$ سینٹی میٹر مربع

س11(i) — $△ABC\sim △DEF$، $k=3$، رقبہ $ABC=50$

$△DEF$ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ $DEF=$ رقبہ $ABC\times k^2=50\times 9$۔

Answer: $450$ سینٹی میٹر مربع

س11(ii) — چوکور، $k=\frac{1}{4}$، رقبہ $ABCD=64$

$EFGH$ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ $EFGH=64\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{64}{16}$۔

Answer: $4$ سینٹی میٹر مربع

س12(i) — رقبے $16,25$: ضلع نسبت معلوم کریں

متناظر اضلاع کی نسبت معلوم کریں۔

1. ضلع نسبت $=\sqrt{16}:\sqrt{25}$۔

Answer: $4:5$

س12(ii) — رقبے $144,81$، بڑا قاعدہ $=30$: چھوٹا قاعدہ معلوم کریں

چھوٹی مثلث کا متناظر قاعدہ معلوم کریں۔

1. ضلع نسبت $=\sqrt{144}:\sqrt{81}=12:9=4:3$۔
2. چھوٹے قاعدے کو $b$ فرض کریں: $\frac{30}{b}=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{30\times 3}{4}$۔

Answer: $22.5$ سینٹی میٹر

س13 — بڑی سات اضلاع کا ضلع $=1.7\times$ چھوٹی؛ چھوٹی کا رقبہ $=100$

بڑی سات اضلاع کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=1.7^2=2.89$۔
2. بڑا رقبہ $=100\times 2.89$۔

Answer: $289$ سینٹی میٹر مربع

س14(i) — کرے کے رداس نسبت $3:4$: حجم نسبت معلوم کریں

حجموں کی نسبت معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=3^3:4^3$۔

Answer: $27:64$

س14(ii) — چار رخی حجم نسبت $8:27$: ضلع نسبت معلوم کریں

اضلاع کی نسبت معلوم کریں۔

1. ضلع نسبت $=\sqrt[3]{8}:\sqrt[3]{27}$۔

Answer: $2:3$

س14(iii) — مخروط حجم نسبت $64:125$: اونچائی نسبت

اونچائیوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. اونچائی نسبت $=\sqrt[3]{64}:\sqrt[3]{125}$۔

Answer: $4:5$

س14(iv) — وہی مخروط: قاعدہ رقبہ نسبت

قاعدوں کے رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. لمبائی نسبت $=4:5$؛ رقبہ نسبت $=4^2:5^2$۔

Answer: $16:25$

س15(i) — اہرام، کنارے $12,16$؛ $V_2=1536$

$V_1$ معلوم کریں۔

1. ${\left(\frac{12}{16}\right)}^3={\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}=\frac{V_1}{1536}$۔

Answer: $V_1=648$ سینٹی میٹر مکعب

س15(ii) — سلنڈر، اونچائیاں $2.5,8.75$؛ $V_2=171.5$

$V_1$ معلوم کریں۔

1. $\frac{2.5}{8.75}=\frac{2}{7}$؛ ${\left(\frac{2}{7}\right)}^3=\frac{8}{343}=\frac{V_1}{171.5}$۔

Answer: $V_1=4$ سینٹی میٹر مکعب

س15(iii) — ڈبے، $A_1=392,A_2=162$؛ $V_2=729$

$V_1$ معلوم کریں۔

1. لکیری نسبت $=\sqrt{\frac{392}{162}}=\sqrt{\frac{196}{81}}=\frac{14}{9}$۔
2. $V_1=729\times {\left(\frac{14}{9}\right)}^3=729\times \frac{2744}{729}$۔

Answer: $V_1=2744$ سینٹی میٹر مکعب

س15(iv) — کرے، $V_1=64,V_2=216,r_2=12$

$r_1$ معلوم کریں۔

1. $\frac{r_1^3}{12^3}=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$۔
2. $r_1^3=1728\times \frac{8}{27}=512\Rightarrow r_1=8$۔

Answer: $r_1=8$ سینٹی میٹر

ع3 — کین، لمبائی نسبت $3:2$، بڑی سطح $=96$

چھوٹی کین کی سطح کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=3^2:2^2=9:4$۔
2. چھوٹی $=96\times \frac{4}{9}$۔

Answer: $\frac{384}{9}\approx 42.67$ میٹر مربع

ع4 — وہی کین، چھوٹی کا حجم $=240$

بڑی کین کا حجم معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=3^3:2^3=27:8$۔
2. بڑی $=240\times \frac{27}{8}$۔

Answer: $1012.5$ میٹر مکعب

ع5 — ٹینک، اونچائی نسبت $5:3$، بڑی سطح $=250$

چھوٹے ٹینک کی سطح کا رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=25:9$۔
2. چھوٹا $=250\times \frac{9}{25}$۔

Answer: $90$ میٹر مربع

ع6 — وہی ٹینک، چھوٹے کا حجم $=270$

بڑے ٹینک کا حجم معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=125:27$۔
2. بڑا $=270\times \frac{125}{27}$۔

Answer: $1250$ میٹر مکعب

س16 — متوازی الاضلاع $AB=10,AD=6,\angle BAD=45°$

رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ $=AB\times AD\times \sin (\angle BAD)=10\times 6\times \frac{\sqrt{2}}{2}$۔

Answer: $30\sqrt{2}\approx 42.43$ سینٹی میٹر مربع

ع7 — $3600$ اکائی مربع پر 3-4-5 مثلث سے عکس

کم سے کم عکسوں کی تعداد معلوم کریں۔

1. ایک مثلث کا رقبہ $=\frac{1}{2}(3)(4)=6$۔
2. درکار مثلثیں $=\frac{3600}{6}=600$؛ پہلی ٹائل عکس نہیں، لہٰذا باقی $600-1$ عکسوں سے بنتی ہیں۔

Answer: $599$ عکس

ع8 — مسدس اقلیدسی نمونہ: $25$ مسدس، ضلع $5$ سینٹی میٹر

کل رقبہ اور بیرونی احاطہ معلوم کریں (پورے نمونے کو ایک بڑے متشابہ مسدس کے طور پر لیتے ہوئے)۔

1. ایک مسدس کا رقبہ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}(5{)}^2=\frac{75\sqrt{3}}{2}$؛ کل $=25\times \frac{75\sqrt{3}}{2}=\frac{1875\sqrt{3}}{2}$۔
2. کل رقبے کو $25\times$ ایک مسدس سمجھتے ہوئے، مساوی بڑے مسدس کا ضلع $5\times \sqrt{25}=25$ سینٹی میٹر؛ احاطہ $=6\times 25$۔

Answer: کل رقبہ $\approx 1623.8$ سینٹی میٹر مربع؛ بیرونی احاطہ $=150$ سینٹی میٹر

ع9 — $12$ میٹر $\times$ $15$ میٹر فرش کے لیے ٹائلیں

$1$ میٹر $\times$ $1$ میٹر ٹائلوں کی تعداد معلوم کریں۔

1. ٹائلوں کی تعداد $=12\times 15$۔

Answer: $180$ ٹائلیں

ع10 — $10$ میٹر $\times$ $120$ میٹر دیوار کے لیے رنگ (گیلن)

ایک گیلن $35$ میٹر مربع کے لیے کافی ہے۔ درکار گیلن معلوم کریں۔

1. دیوار کا رقبہ $=10\times 120=1200$ میٹر مربع۔
2. گیلن $=\frac{1200}{35}\approx 34.3$، اوپر گول چونکہ جزوی گیلن نہیں ملتے۔

Answer: $35$ گیلن (بالکل $\frac{240}{7}\approx 34.29$)

ع11 — $10$ میٹر $\times$ $4$ میٹر دیوار کے لیے رنگ (لیٹر)

ایک لیٹر $7$ میٹر مربع کے لیے کافی ہے۔ درکار لیٹر معلوم کریں۔

1. دیوار کا رقبہ $=10\times 4=40$ میٹر مربع۔
2. لیٹر $=\frac{40}{7}$۔

Answer: $\approx 5.71$ لیٹر

س17 — ذوزنقہ نما کھڑکی: متوازی اضلاع $3,1.5$، اونچائی $2$

رقبہ معلوم کریں۔

1. رقبہ $=\frac{1}{2}(3+1.5)(2)$۔

Answer: $4.5$ میٹر مربع

س18 — اندرونی زاویوں کا مجموعہ $1080°$ والا کثیر الاضلاع

اضلاع کی تعداد معلوم کریں۔

1. $(n-2)\times 180=1080\Rightarrow n-2=6$۔

Answer: $n=8$ اضلاع

ع12 — بوتل اونچائی نسبت $2:1$: سطح رقبہ اور گنجائش کی نسبت

دونوں نسبتیں معلوم کریں۔

1. سطح رقبہ نسبت $=2^2:1^2$۔
2. گنجائش (حجم) نسبت $=2^3:1^3$۔

Answer: سطح رقبہ $=4:1$؛ گنجائش $=8:1$

ع13(i) — ماڈل کار پیمانہ $\frac{1}{10}$: ونڈ سکرین رقبہ نسبت

ونڈ سکرین رقبوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. رقبہ نسبت $=1^2:10^2$۔

Answer: $1:100$

ع13(ii) — بوٹ گنجائش نسبت

بوٹ کی گنجائش کی نسبت معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=1^3:10^3$۔

Answer: $1:1000$

ع13(iii) — چوڑائی نسبت

چوڑائیوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. چوڑائیاں لکیری پیمائشیں ہیں۔

Answer: $1:10$

ع13(iv) — پہیوں کی تعداد کی نسبت

پہیوں کی تعداد کی نسبت معلوم کریں۔

1. پہیوں کی تعداد ایک الگ مقدار ہے، پیمانہ شدہ ہندسی پیمائش نہیں — دونوں کے $4$ پہیے ہیں سائز سے قطع نظر۔

Answer: $1:1$ (سائز کے ساتھ پیمانہ نہیں بدلتا)

ع14 — جگ، اونچائیاں $8,12,16$؛ سب سے چھوٹا $\frac{1}{2}$ لیٹر رکھتا ہے

باقی دو کی گنجائش معلوم کریں۔

1. $h=12$ کے لیے: ${\left(\frac{12}{8}\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}$؛ گنجائش $=500\times \frac{27}{8}=1687.5$ ملی لیٹر۔
2. $h=16$ کے لیے: ${\left(\frac{16}{8}\right)}^3=8$؛ گنجائش $=500\times 8=4000$ ملی لیٹر۔

Answer: $1.6875$ لیٹر اور $4$ لیٹر

ع15 — گلاس، اونچائیاں $7.5,9,10.5$؛ سب سے بڑا $343$ ملی لیٹر رکھتا ہے

باقی دو کی گنجائش معلوم کریں۔

1. $h=7.5$ کے لیے: ${\left(\frac{7.5}{10.5}\right)}^3={\left(\frac{5}{7}\right)}^3=\frac{125}{343}$؛ گنجائش $=343\times \frac{125}{343}=125$ ملی لیٹر۔
2. $h=9$ کے لیے: ${\left(\frac{9}{10.5}\right)}^3={\left(\frac{6}{7}\right)}^3=\frac{216}{343}$؛ گنجائش $=343\times \frac{216}{343}=216$ ملی لیٹر۔

Answer: $125$ ملی لیٹر اور $216$ ملی لیٹر

ع16(i) — لمبائیوں کی نسبت

دروازے کے رقبے کی نسبت $1:2500$ (رقبہ نسبت)۔ لمبائیوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. لکیری نسبت $=\sqrt{1}:\sqrt{2500}$۔

Answer: $1:50$

ع16(ii) — پٹرول ٹینک گنجائش کی نسبت

حجموں کی نسبت معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=1^3:50^3$۔

Answer: $1:125000$

ع16(iii) — ماڈل کی چوڑائی، اصل کار $150$ سینٹی میٹر چوڑی

ماڈل کی چوڑائی معلوم کریں۔

1. ماڈل چوڑائی $=150\times \frac{1}{50}$۔

Answer: $3$ سینٹی میٹر

ع16(iv) — اصل پچھلے شیشے کا رقبہ، ماڈل $=3$ سینٹی میٹر مربع

اصل کار کے پچھلے شیشے کا رقبہ معلوم کریں۔

1. اصل $=$ ماڈل $\times 2500=3\times 2500$۔

Answer: $7500$ سینٹی میٹر مربع

ع17(i) — اونچائیوں کی نسبت

جاروں کی اونچائیوں کی نسبت معلوم کریں۔

1. لکیری نسبت $=\sqrt{144}:\sqrt{169}$۔

Answer: $12:13$

ع17(ii) — گنجائش کی نسبت

گنجائش کی نسبت معلوم کریں۔

1. حجم نسبت $=12^3:13^3$۔

Answer: $1728:2197$

ع18 — مسدس + 6 مربع + 6 مثلث، ہر ایک ضلع $\frac{1}{2}$ میٹر

ایک نمونے کا کل رقبہ معلوم کریں۔

1. مسدس: $\frac{3\sqrt{3}}{2}(0.5{)}^2=0.375\sqrt{3}$۔
2. 6 مربع: $6\times (0.5{)}^2=1.5$۔
3. 6 مثلث: $6\times \frac{\sqrt{3}}{4}(0.5{)}^2=0.375\sqrt{3}$۔
4. کل $=0.375\sqrt{3}+1.5+0.375\sqrt{3}=1.5+0.75\sqrt{3}$۔

Answer: $1.5+0.75\sqrt{3}\approx 2.80$ میٹر مربع