9th Class Math Chapter 10 Notes

س1 — $S=1000e^{-t}$ کا گراف $t=0$ سے $9$ تک

ایک اسکول کی تعداد $S=1000e^{-t}$ کے مطابق کم ہوتی ہے۔ $t=0$ (2016) سے $t=9$ (2025) تک گراف بنائیں۔

1. اہم نقاط: $t=0\to 1000$، $t=1\to 368$، $t=2\to 135$، $t=3\to 50$، $t=4\to 18$، $t=5\to 7$، $t=6\to 2.5$، $t=7\to 0.9$، $t=8\to 0.3$، $t=9\to 0.1$۔
2. یہ ایک تیز نمائی زوال والا منحنی بناتا ہے جو شروع میں تیزی سے گرتا ہے پھر صفر کے قریب ہموار ہو جاتا ہے۔

Answer: منحنی $1000$ سے $0$ کی طرف گرتا ہے، تقریباً $\{1000,368,135,50,18,7,2.5,0.9,0.3,0.1\}$ بمقام $t=0,\dots ,9$

س2 — 2019 اور 2023 میں تعداد کا اندازہ

گراف کے ذریعے $t=3$ (2019) اور $t=7$ (2023) پر تعداد کا اندازہ لگائیں۔

1. $S(3)=1000e^{-3}\approx 50$۔
2. $S(7)=1000e^{-7}\approx 0.9$ (تقریباً $0$ — اس ماڈل کے تحت 2023 تک عملی طور پر کوئی طالب علم باقی نہیں رہتا)۔

Answer: 2019: $\approx 50$ طلبہ؛ 2023: $\approx 1$ طالب علم (ماڈل صفر کے قریب پیشگوئی کرتا ہے)

س3 — $P_d=400-5Q$ اور $P_s=3Q+24$ کا گراف $Q=0$ سے $300$ تک

ہر فنکشن کا گراف بنائیں اور ملاپ کا نقطہ نوٹ کریں۔

1. $P_d$: $(0,400)$ سے شروع، ڈھلوان $-5$ (نیچے جاتی لکیر)۔
2. $P_s$: $(0,24)$ سے شروع، ڈھلوان $3$ (اوپر جاتی لکیر)۔
3. توازن: $400-5Q=3Q+24\Rightarrow 376=8Q\Rightarrow Q=47$؛ $P=3(47)+24=165$۔

Answer: لکیریں توازن نقطہ $(Q,P)=(47,165)$ پر ملتی ہیں

س4 — $S(x)=45000+4500x$ کا خاکہ $0\le x\le 5$ کے لیے

تنخواہ فنکشن کا خاکہ بنائیں اور وضاحت کریں۔

1. قیمتیں: $x=0\to 45000$، $1\to 49500$، $2\to 54000$، $3\to 58500$، $4\to 63000$، $5\to 67500$۔
2. ایک سیدھی لکیر جو ابتدائی تنخواہ روپے $45000$ سے شروع ہو کر ہر سال ملازمت میں روپے $4500$ بڑھتی ہے۔

Answer: $(0,45000)$ سے $(5,67500)$ تک سیدھی لکیر، ڈھلوان $4500$/سال

س5 — $C(x)=1200+20x$، $R(x)=50x$ کے لیے بریک ایون

بریک ایون پوائنٹ معلوم کریں۔

1. $1200+20x=50x\Rightarrow 1200=30x$۔

Answer: $x=40$ بیگز

س6 — $x=250$ بیگز پر منافع/نقصان

250 بیگز فروخت ہونے پر منافع یا نقصان معلوم کریں۔

1. $R(250)-C(250)=50(250)-[1200+20(250)]=12500-6200$۔

Answer: روپے $6300$ منافع

س7 — دونوں گراف بنائیں اور بریک ایون پوائنٹ معلوم کریں

$C(x)$ اور $R(x)$ کا گراف بنائیں اور ملاپ کا نقطہ نشان زد کریں۔

1. $C(x)$ کا $(0,1200)$ سے شروع، ڈھلوان $20$؛ $R(x)$ کا مبدا سے شروع، ڈھلوان $50$۔
2. دونوں $x=40$ پر ملتے ہیں: $R(40)=2000$، $C(40)=1200+800=2000$ ✓

Answer: بریک ایون پوائنٹ $(40,2000)$ پر

س8 — $p(x)=10x-70$ کا گراف؛ $500$ کاپیوں کا منافع معلوم کریں

گراف بنائیں اور $500$ اخبارات کا منافع معلوم کریں۔

1. ایک سیدھی لکیر جس کا $y$-قاطع $-70$ اور ڈھلوان $10$ ہے۔
2. $p(500)=10(500)-70=5000-70$۔

Answer: روپے $4930$ منافع

س9 — $C(x)=1500+10x+0.2x^2$ کا گراف؛ $200$ قمیضوں کی لاگت معلوم کریں

گراف بنائیں (بیان کردہ ڈومین $0\le x\le 150$) اور $x=200$ پر قیمت معلوم کریں۔

1. دی گئی ڈومین پر اوپر کی طرف مڑنے والا لاگت منحنی۔
2. $C(200)=1500+10(200)+0.2(200{)}^2=1500+2000+0.2(40000)=1500+2000+8000$ (فارمولے کو بیان کردہ $150$ کی حد سے آگے بڑھاتے ہوئے)۔

Answer: روپے $11500$ (نوٹ: $x=200$ بیان کردہ ڈومین $0\le x\le 150$ سے باہر ہے)

س10 — $S=200000(1-e^{-0.05t})$ کا گراف پہلے $50$ ہفتوں کے لیے

فروخت نمو کا منحنی بنائیں۔

1. اہم نقاط: $t=0\to 0$، $t=10\to 78700$، $t=20\to 126420$، $t=30\to 155380$، $t=40\to 172940$، $t=50\to 183580$۔
2. منحنی شروع میں تیزی سے بڑھتا ہے، پھر ہموار ہو کر $200000$ کے قریب پہنچتا ہے۔

Answer: نمو منحنی $0$ سے $200000$ کی طرف (مگر کبھی مکمل نہیں پہنچتا) بڑھتا ہے

س11 — $t=5$ اور $t=35$ ہفتوں پر فروخت

فروخت شدہ رسالوں کی تعداد معلوم کریں۔

1. $S(5)=200000(1-e^{-0.25})=200000(1-0.7788)=200000(0.2212)$۔
2. $S(35)=200000(1-e^{-1.75})=200000(1-0.1738)=200000(0.8262)$۔

Answer: $t=5$: $\approx 44,240$؛ $t=35$: $\approx 165,246$

س12 — $P_s=Q^2+5$ اور $P_d=Q^2-10Q$ کا خاکہ $Q=-20$ سے $20$ تک

ہر منحنی کا خاکہ بنائیں۔

1. $P_s=Q^2+5$: راس $(0,5)$ والا اوپر کھلتا پیرابولا۔
2. $P_d=Q^2-10Q=(Q-5{)}^2-25$: راس $(5,-25)$ والا اوپر کھلتا پیرابولا۔
3. برابر رکھیں: $Q^2+5=Q^2-10Q\Rightarrow 5=-10Q\Rightarrow Q=-0.5$، دیتا ہے $P=5.25$ — اقتصادی طور پر بامعنی علاقے $Q\ge 0$ سے باہر۔

Answer: منحنیات $Q=-0.5,P=5.25$ پر ملتی ہیں (اقتصادی طور پر بامعنی نہیں؛ $Q\ge 0$ کے لیے، رسد ہمیشہ طلب سے زیادہ ہے)

س13 — بریک ایون، اور $100$ LEDs پر منافع/نقصان

$C(x)=60000+250x$، $R(x)=1200x$۔ بریک ایون پوائنٹ اور $x=100$ پر منافع/نقصان معلوم کریں۔

1. بریک ایون: $60000+250x=1200x\Rightarrow 60000=950x\Rightarrow x=\frac{1200}{19}\approx 63.16$۔
2. $x=100$ پر: $R(100)-C(100)=120000-[60000+25000]=120000-85000$۔
3. چونکہ $100>63.16$، کمپنی بریک ایون سے اوپر کام کر رہی ہے، لہٰذا منافع۔

Answer: بریک ایون $\approx 63.16$ LEDs (عملی طور پر $64$ یونٹس)؛ $100$ LEDs پر روپے $35,000$ منافع