9th Class Math Chapter 1 Notes

س1(i) — ناطق یا غیر ناطق شناخت کریں: $2.353535$ (متواتر)

$2.\overline{35}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. جو اعشاریہ ہمیشہ ایک ہی حصے میں دہرایا جائے (یہاں "35" دہرایا جا رہا ہے) اسے ہمیشہ $p/q$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔

Answer: ناطق

س1(ii) — شناخت: $0.\overline{6}$

$0.\overline{6}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. متواتر اعشاریہ ہمیشہ $p/q$ کی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے (یہ $\frac{2}{3}$ کے برابر ہے)۔

Answer: ناطق

س1(iii) — شناخت: $2.236067\dots$

$2.236067\dots$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. یہ $\sqrt{5}$ کا اعشاریہ ہے؛ نہ ختم ہوتا ہے نہ دہراتا ہے۔

Answer: غیر ناطق

س1(iv) — شناخت: $\sqrt{7}$

$\sqrt{7}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. $7$ کامل مربع نہیں، اس لیے $\sqrt{7}$ کو $p/q$ کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔

Answer: غیر ناطق

س1(v) — شناخت: $e$

$e$ (عدد یولر) کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. $e$ ایک متعدی عدد ہے — اس کا اعشاریہ کبھی ختم یا دہرایا نہیں جاتا۔

Answer: غیر ناطق

س1(vi) — شناخت: $\pi$

$\pi$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. $\pi$ بھی $e$ کی طرح متعدی عدد ہے۔

Answer: غیر ناطق

س1(vii) — شناخت: $5+\sqrt{11}$

$5+\sqrt{11}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. ناطق عدد جمع غیر ناطق عدد ہمیشہ غیر ناطق ہوتا ہے — اگر یہ ناطق ہوتا تو $\sqrt{11}=(5+\sqrt{11})-5$ بھی ناطق ہوتا، جو غلط ہے۔

Answer: غیر ناطق

س1(viii) — شناخت: $\sqrt{3}+\sqrt{13}$

$\sqrt{3}+\sqrt{13}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. نہ $3$ اور نہ $13$ کامل مربع ہیں، اور جمع کرنے پر جڑیں ختم نہیں ہوتیں، اس لیے مجموعہ غیر ناطق رہتا ہے۔

Answer: غیر ناطق

س1(ix) — شناخت: $\frac{15}{4}$

$\frac{15}{4}$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. یہ پہلے ہی $p/q$ کی شکل میں ہے، جہاں $p=15$، $q=4\ne 0$۔

Answer: ناطق

س1(x) — شناخت: $(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})$

$(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})$ کو ناطق یا غیر ناطق کے طور پر شناخت کریں۔

1. یہ مربعوں کے فرق کی صورت ہے: $(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$۔
2. $2$ ایک صحیح عدد ہے، اس لیے ناطق ہے۔

Answer: ناطق (برابر $2$ کے)

س2(i) — عددی خط پر ظاہر کریں: $\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. $0$ سے $1$ تک ایک اکائی مربع بنائیں (بنیاد $1$، اونچائی $1$) عددی خط پر $0$ پر کھڑا۔
2. اس کا قطر فیثاغورث کے مطابق $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ لمبا ہوگا۔
3. پرکار سے یہ فاصلہ $0$ سے عددی خط پر نیچے لے آئیں — جہاں یہ گرے وہی $\sqrt{2}$ ہے۔

Answer: $0$ سے $\sqrt{2}\approx 1.41$ کے فاصلے پر نقطہ

س2(ii) — ظاہر کریں: $\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. پہلے سے نشان زدہ نقطہ $\sqrt{2}$ سے $1$ لمبائی کا عمود کھڑا کریں۔
2. نیا وتر $\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$ لمبا ہوگا۔
3. پرکار سے یہ فاصلہ $0$ سے عددی خط پر لے آئیں تاکہ $\sqrt{3}$ نشان زد ہو۔

Answer: $0$ سے $\sqrt{3}\approx 1.73$ کے فاصلے پر نقطہ

س2(iii) — ظاہر کریں: $4\frac{1}{3}$

$4\frac{1}{3}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. $4\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$، جو $4$ اور $5$ کے درمیان ہے۔
2. $4$ سے $5$ تک کے حصے کو $3$ برابر حصوں میں تقسیم کریں؛ $4$ کے قریب پہلا نشان $4\frac{1}{3}$ ہے۔

Answer: $4$ سے $5$ کی طرف $\frac{1}{3}$ فاصلے پر نقطہ

س2(iv) — ظاہر کریں: $-2\frac{1}{7}$

$-2\frac{1}{7}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. $-2\frac{1}{7}$، $-3$ اور $-2$ کے درمیان، $-2$ سے $-3$ کی طرف $\frac{1}{7}$ فاصلے پر ہے۔
2. $-2$ سے $-3$ تک کے حصے کو $7$ برابر حصوں میں تقسیم کریں اور پہلا نشان لگائیں۔

Answer: $-3$ اور $-2$ کے درمیان، $-2$ سے $\frac{1}{7}$ فاصلے پر نقطہ

س2(v) — ظاہر کریں: $\frac{5}{8}$

$\frac{5}{8}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. $\frac{5}{8}$، $0$ اور $1$ کے درمیان ہے۔
2. $0$ سے $1$ تک کی اکائی کو $8$ برابر حصوں میں تقسیم کریں؛ $0$ سے $5$واں نشان $\frac{5}{8}$ ہے۔

Answer: $0$ سے $1$ کی طرف $\frac{5}{8}$ فاصلے پر نقطہ

س2(vi) — ظاہر کریں: $2\frac{3}{4}$

$2\frac{3}{4}$ کو عددی خط پر دکھائیں۔

1. $2\frac{3}{4}$، $2$ اور $3$ کے درمیان ہے۔
2. $2$ سے $3$ تک کے حصے کو $4$ برابر حصوں میں تقسیم کریں؛ $2$ سے تیسرا نشان $2\frac{3}{4}$ ہے۔

Answer: $2$ سے $3$ کی طرف $\frac{3}{4}$ فاصلے پر نقطہ

س3(i) — $p/q$ میں ظاہر کریں: $0.\overline{4}$

$0.\overline{4}$ کو $\frac{p}{q}$ کی صورت میں لکھیں۔

1. فرض کریں $x=0.\overline{4}=0.4444\dots$
2. $10$ سے ضرب: $10x=4.4444\dots$
3. تفریق کریں: $10x-x=4\Rightarrow 9x=4$
4. لہٰذا $x=\frac{4}{9}$۔

Answer: $\frac{4}{9}$

س3(ii) — ظاہر کریں: $0.\overline{37}$

$0.\overline{37}$ کو $\frac{p}{q}$ کی صورت میں لکھیں۔

1. فرض کریں $x=0.\overline{37}=0.373737\dots$
2. چونکہ $2$ ہندسے دہرا رہے ہیں، $100$ سے ضرب: $100x=37.373737\dots$
3. تفریق: $99x=37$
4. لہٰذا $x=\frac{37}{99}$۔

Answer: $\frac{37}{99}$

س3(iii) — ظاہر کریں: $0.\overline{21}$

$0.\overline{21}$ کو $\frac{p}{q}$ کی صورت میں لکھیں۔

1. فرض کریں $x=0.\overline{21}=0.212121\dots$
2. $100$ سے ضرب: $100x=21.212121\dots$
3. تفریق: $99x=21\Rightarrow x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$ ($3$ سے تقسیم کر کے)۔

Answer: $\frac{7}{33}$

س4(i) — خاصیت بتائیں: $(a+4)+b=a+(4+b)$

$(a+4)+b=a+(4+b)$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. صرف اعداد کی گروپ بندی بدلی ہے، ترتیب وہی رہی۔

Answer: جمع کی متلازمی خاصیت

س4(ii) — خاصیت: $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. دونوں اعداد کی ترتیب بدل دی گئی ہے۔

Answer: جمع کی مبادلاتی خاصیت

س4(iii) — خاصیت: $x-x=0$

$x-x=0$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. ہر حقیقی عدد $x$ کا ایک جمعی معکوس $-x$ ہوتا ہے جس سے $x+(-x)=0$۔

Answer: جمعی معکوس کا وجود

س4(iv) — خاصیت: $a(b+c)=ab+ac$

$a(b+c)=ab+ac$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. ضرب کو قوسین کے اندر ہر جزو پر تقسیم کیا گیا ہے۔

Answer: تقسیمی خاصیت (ضرب کی جمع پر)

س4(v) — خاصیت: $16+0=16$

$16+0=16$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. صفر جمع کرنے سے عدد نہیں بدلتا۔

Answer: جمعی شناختی خاصیت

س4(vi) — خاصیت: $100\times 1=100$

$100\times 1=100$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. $1$ سے ضرب کرنے سے عدد نہیں بدلتا۔

Answer: ضربی شناختی خاصیت

س4(vii) — خاصیت: $4\times (5\times 8)=(4\times 5)\times 8$

$4\times (5\times 8)=(4\times 5)\times 8$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. صرف گروپ بندی بدلی، ترتیب نہیں۔

Answer: ضرب کی متلازمی خاصیت

س4(viii) — خاصیت: $ab=ba$

$ab=ba$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. دونوں عوامل کی ترتیب بدل دی گئی ہے۔

Answer: ضرب کی مبادلاتی خاصیت

س4(ix) — خاصیت: $-3<-1\Rightarrow 0<2$

$-3<-1$ سے $0<2$ تک جانا کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. $-3<-1$ کے دونوں طرف $3$ جمع کرنے سے $0<2$ ملتا ہے؛ نامساوات کی سمت برقرار رہتی ہے۔

Answer: ترتیب کی جمعی خاصیت (اگر $a<b$ تو $a+c<b+c$)

س4(x) — خاصیت: اگر $a<b$ تو $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

اگر $a<b$ (ہم علامت اعداد) تو $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. دو مثبت (یا دو منفی) اعداد کے معکوس لینے سے نامساوات الٹ جاتی ہے۔

Answer: نامساوات میں معکوس کی خاصیت

س4(xi) — خاصیت: اگر $a<b$ تو $a+c<b+c$

اگر $a<b$ تو $a+c<b+c$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. نامساوات کے دونوں طرف ایک ہی عدد جمع کرنے سے سمت برقرار رہتی ہے۔

Answer: ترتیب کی جمعی خاصیت

س4(xii) — خاصیت: اگر $ac<bc$، $c>0$ تو $a<b$

اگر $ac<bc$ اور $c>0$ تو $a<b$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. نامساوات کے دونوں طرف ایک ہی مثبت عدد سے تقسیم کرنے سے سمت برقرار رہتی ہے۔

Answer: ترتیب کی ضربی خاصیت (مثبت ضارب)

س4(xiii) — خاصیت: اگر $ac<bc$، $c<0$ تو $a>b$

اگر $ac<bc$ اور $c<0$ تو $a>b$ کون سی خاصیت ثابت کرتی ہے؟

1. نامساوات کے دونوں طرف ایک ہی منفی عدد سے تقسیم کرنے سے سمت الٹ جاتی ہے۔

Answer: ترتیب کی ضربی خاصیت (منفی ضارب سمت الٹ دیتا ہے)

س4(xiv) — خاصیت: $a>b$ یا $a=b$ یا $a<b$

یہ کہ $a>b$، $a=b$، $a<b$ میں سے صرف ایک ہمیشہ سچ ہوتا ہے، کون سی خاصیت ہے؟

1. کسی بھی دو حقیقی اعداد کے لیے ان تین تعلقات میں سے صرف ایک ہمیشہ سچ ہوتا ہے۔

Answer: ثلاثیت کی خاصیت

س5(i) — $\frac{1}{4}$ اور $\frac{1}{3}$ کے درمیان دو ناطق اعداد

$\frac{1}{4}$ اور $\frac{1}{3}$ کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں۔

1. $\frac{1}{4}=0.25$ اور $\frac{1}{3}\approx 0.333$۔
2. درمیان کے کوئی دو اعشاریے چنیں، مثلاً $0.27=\frac{27}{100}$ اور $0.3=\frac{3}{10}$۔

Answer: $\frac{27}{100}$ اور $\frac{3}{10}$ (دیگر جواب بھی ممکن ہیں)

س5(ii) — $3$ اور $4$ کے درمیان دو ناطق اعداد

$3$ اور $4$ کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں۔

1. $3$ اور $4$ کے درمیان کوئی دو اعشاریے، مثلاً $3.25=\frac{13}{4}$ اور $3.5=\frac{7}{2}$۔

Answer: $\frac{13}{4}$ اور $\frac{7}{2}$

س5(iii) — $\frac{3}{5}$ اور $\frac{4}{5}$ کے درمیان دو ناطق اعداد

$\frac{3}{5}$ اور $\frac{4}{5}$ کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں۔

1. $\frac{3}{5}=0.6$ اور $\frac{4}{5}=0.8$۔
2. $0.65=\frac{13}{20}$ اور $0.7=\frac{7}{10}$ چنیں۔

Answer: $\frac{13}{20}$ اور $\frac{7}{10}$

س5(iv) — $4$ اور $5$ کے درمیان دو ناطق اعداد

$4$ اور $5$ کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں۔

1. درمیان کے کوئی دو اعشاریے چنیں، مثلاً $4.25=\frac{17}{4}$ اور $4.5=\frac{9}{2}$۔

Answer: $\frac{17}{4}$ اور $\frac{9}{2}$

س6(i) — مخرج ناطق بنائیں: $\frac{13}{4+\sqrt{3}}$

$\frac{13}{4+\sqrt{3}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. مشترک $4-\sqrt{3}$ سے اوپر نیچے ضرب دیں: $\frac{13(4-\sqrt{3})}{(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})}$
2. مخرج: $4^2-(\sqrt{3}{)}^2=16-3=13$۔
3. کسر بنتی ہے: $\frac{13(4-\sqrt{3})}{13}=4-\sqrt{3}$۔

Answer: $4-\sqrt{3}$

س6(ii) — ناطق بنائیں: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. اوپر نیچے $\sqrt{3}$ سے ضرب دیں: $\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$۔

Answer: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$

س6(iii) — ناطق بنائیں: $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{5}}$

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{5}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. اوپر نیچے $\sqrt{5}$ سے ضرب دیں: $\frac{(\sqrt{2}-1)\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}$۔

Answer: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}$

س6(iv) — ناطق بنائیں: $\frac{6-4\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}$

$\frac{6-4\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. مشترک $6-4\sqrt{2}$ سے ضرب دیں۔
2. مخرج: $6^2-(4\sqrt{2}{)}^2=36-32=4$۔
3. شمار: $(6-4\sqrt{2}{)}^2=36-48\sqrt{2}+32=68-48\sqrt{2}$۔
4. کسر: $\frac{68-48\sqrt{2}}{4}=17-12\sqrt{2}$۔

Answer: $17-12\sqrt{2}$

س6(v) — ناطق بنائیں: $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. مشترک $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ سے ضرب دیں۔
2. مخرج: $3-2=1$۔
3. شمار: $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$۔

Answer: $5-2\sqrt{6}$

س6(vi) — ناطق بنائیں: $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ کا مخرج ناطق بنائیں۔

1. مشترک $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ سے ضرب دیں۔
2. مخرج: $7-5=2$۔
3. شمار: $4\sqrt{3}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=4\sqrt{21}-4\sqrt{15}$۔
4. کسر: $\frac{4\sqrt{21}-4\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{21}-2\sqrt{15}$۔

Answer: $2\sqrt{21}-2\sqrt{15}$

س7(i) — مختصر کریں: ${\left(\frac{81}{16}\right)}^{-\frac{3}{4}}$

${\left(\frac{81}{16}\right)}^{-\frac{3}{4}}$ کو مختصر کریں۔

1. منفی توانی کسر کو الٹ دیتی ہے: ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{3/4}$۔
2. $16^{1/4}=2$ اور $81^{1/4}=3$، لہٰذا ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{1/4}=\frac{2}{3}$۔
3. مکعب کریں: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$۔

Answer: $\frac{8}{27}$

س7(ii) — مختصر کریں: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}÷{\left(\frac{4}{9}\right)}^3\times \frac{16}{27}$

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}÷{\left(\frac{4}{9}\right)}^3\times \frac{16}{27}$ کو مختصر کریں۔

1. ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$۔
2. ${\left(\frac{4}{9}\right)}^3=\frac{64}{729}$۔
3. تقسیم: $\frac{16}{9}÷\frac{64}{729}=\frac{16}{9}\times \frac{729}{64}=\frac{81}{4}$۔
4. $\frac{16}{27}$ سے ضرب: $\frac{81}{4}\times \frac{16}{27}=12$۔

Answer: $12$

س7(iii) — مختصر کریں: $(0.027{)}^{-\frac{1}{3}}$

$(0.027{)}^{-\frac{1}{3}}$ کو مختصر کریں۔

1. $0.027=\frac{27}{1000}={\left(\frac{3}{10}\right)}^3$، لہٰذا $(0.027{)}^{1/3}=\frac{3}{10}$۔
2. منفی توانی معکوس دیتی ہے: $(0.027{)}^{-1/3}=\frac{10}{3}$۔

Answer: $\frac{10}{3}$

س7(iv) — مختصر کریں: $\sqrt[7]{\frac{x^{14}{y}^{21}{z}^{35}}{y^{14}{z}^7}}$

$\sqrt[7]{\frac{x^{14}{y}^{21}{z}^{35}}{y^{14}{z}^7}}$ کو مختصر کریں۔

1. پہلے اندر مختصر کریں: $\frac{x^{14}{y}^{21}{z}^{35}}{y^{14}{z}^7}=x^{14}{y}^7{z}^{28}$۔
2. ساتویں جڑ لینے کے لیے ہر توانی کو $7$ سے تقسیم کریں: $x^{2}y{z}^4$۔

Answer: $x^{2}y{z}^4$

س7(v) — مختصر کریں: $\frac{5(25{)}^{n+1}-25(5{)}^{2n}}{5(5{)}^{2n+3}-(25{)}^{n+1}}$

$\frac{5(25{)}^{n+1}-25(5{)}^{2n}}{5(5{)}^{2n+3}-(25{)}^{n+1}}$ کو مختصر کریں۔

1. سب کچھ $5$ کی توانی میں لکھیں: $25^{n+1}=5^{2n+2}$۔
2. شمار: $5\cdot 5^{2n+2}-5^2\cdot 5^{2n}=5^{2n+3}-5^{2n+2}=4\cdot 5^{2n+2}$۔
3. مخرج: $5\cdot 5^{2n+3}-5^{2n+2}=5^{2n+4}-5^{2n+2}=24\cdot 5^{2n+2}$۔
4. نسبت: $\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$۔

Answer: $\frac{1}{6}$

س7(vi) — مختصر کریں: $\frac{(16{)}^{x+1}+20(4^{2x})}{2^{x-3}\times 8^{x+2}}$

$\frac{(16{)}^{x+1}+20(4^{2x})}{2^{x-3}\times 8^{x+2}}$ کو مختصر کریں۔

1. تمام اجزاء $2$ کی توانی میں: $16^{x+1}=2^{4x+4}$، $4^{2x}=2^{4x}$، $8^{x+2}=2^{3x+6}$۔
2. شمار: $2^{4x+4}+20\cdot 2^{4x}=36\cdot 2^{4x}$۔
3. مخرج: $2^{x-3}\times 2^{3x+6}=2^{4x+3}$۔
4. نسبت: $\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$۔

Answer: $\frac{9}{2}$

س7(vii) — مختصر کریں: $(64{)}^{-\frac{2}{3}}÷(9{)}^{-\frac{3}{2}}$

$(64{)}^{-\frac{2}{3}}÷(9{)}^{-\frac{3}{2}}$ کو مختصر کریں۔

1. $64^{-2/3}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$۔
2. $9^{-3/2}=\frac{1}{27}$۔
3. تقسیم: $\frac{1}{16}÷\frac{1}{27}=\frac{27}{16}$۔

Answer: $\frac{27}{16}$

س7(viii) — مختصر کریں: $\frac{3^n\times 9^{n+1}}{3^{n-1}\times 9^{n-1}}$

$\frac{3^n\times 9^{n+1}}{3^{n-1}\times 9^{n-1}}$ کو مختصر کریں۔

1. $9^{n+1}=3^{2n+2}$، $9^{n-1}=3^{2n-2}$۔
2. شمار: $3^{3n+2}$۔ مخرج: $3^{3n-3}$۔
3. نسبت: $3^5=243$۔

Answer: $243$

س7(ix) — مختصر کریں: $\frac{5^{n+3}-6\cdot 5^{n+1}}{9\times 5^n-4\times 5^n}$

$\frac{5^{n+3}-6\cdot 5^{n+1}}{9\times 5^n-4\times 5^n}$ کو مختصر کریں۔

1. شمار: $5^{n+1}(25-6)=19\cdot 5^{n+1}$۔
2. مخرج: $5^n(9-4)=5\cdot 5^n$۔
3. نسبت: $19$۔

Answer: $19$

س7(x) — مختصر کریں: $\frac{(25{)}^{\frac{3}{2}}\times (243{)}^{\frac{3}{5}}}{(16{)}^{\frac{5}{4}}\times (8{)}^{\frac{4}{3}}}$

$\frac{(25{)}^{3/2}\times (243{)}^{3/5}}{(16{)}^{5/4}\times (8{)}^{4/3}}$ کو مختصر کریں۔

1. $25^{3/2}=125$، $243^{3/5}=27$، $16^{5/4}=32$، $8^{4/3}=16$۔
2. نسبت: $\frac{125\times 27}{32\times 16}=\frac{3375}{512}$۔

Answer: $\frac{3375}{512}$

س7(xi) — مختصر کریں: $\frac{54\times \sqrt[3]{(27{)}^{2x}}}{9^{x+1}+216(3^{2x-1})}$

$\frac{54\times \sqrt[3]{(27{)}^{2x}}}{9^{x+1}+216(3^{2x-1})}$ کو مختصر کریں۔

1. $\sqrt[3]{27^{2x}}=3^{2x}$۔
2. مخرج: $3^{2x+2}+72\cdot 3^{2x}=81\cdot 3^{2x}$۔
3. نسبت: $\frac{54}{81}=\frac{2}{3}$۔

Answer: $\frac{2}{3}$

س7(xii) — مختصر کریں: $\sqrt{\frac{(216{)}^{\frac{2}{3}}\times (25{)}^{\frac{1}{2}}}{(0.04{)}^{-\frac{3}{2}}}}$

$\sqrt{\frac{(216{)}^{2/3}\times (25{)}^{1/2}}{(0.04{)}^{-3/2}}}$ کو مختصر کریں۔

1. $216^{2/3}=36$، $25^{1/2}=5$، $(0.04{)}^{-3/2}=125$۔
2. اندر: $\frac{36\times 5}{125}=\frac{36}{25}$۔
3. جڑ: $\frac{6}{5}$۔

Answer: $\frac{6}{5}$

س7(xiii) — مختصر کریں: $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)$

$\left(a^{1/3}+b^{2/3}\right)\left(a^{2/3}-a^{1/3}{b}^{2/3}+b^{4/3}\right)$ کو مختصر کریں۔

1. $X=a^{1/3}$، $Y=b^{2/3}$ فرض کریں؛ یہ $(X+Y)(X^2-XY+Y^2)=X^3+Y^3$ کی شکل ہے۔
2. $X^3=a$، $Y^3=b^2$۔

Answer: $a+b^2$

س7(xiv) — مختصر کریں: $\sqrt[5]{\frac{x^{15}{y}^{35}}{z^{20}}}$

$\sqrt[5]{\frac{x^{15}{y}^{35}}{z^{20}}}$ کو مختصر کریں۔

1. ہر توانی کو $5$ سے تقسیم کریں: $x^3{y}^7{z}^{-4}$۔

Answer: $\frac{x^3{y}^7}{z^4}$

س7(xv) — مختصر کریں: $\sqrt[3]{(27{)}^{2x}}$

$\sqrt[3]{(27{)}^{2x}}$ کو مختصر کریں۔

1. $27=3^3$، لہٰذا $27^{2x}=3^{6x}$۔
2. مکعب جڑ: $3^{2x}$۔

Answer: $3^{2x}$ (یعنی $9^x$)

س7(xvi) — مختصر کریں: $\frac{6(3{)}^{n+2}}{3^{n+1}-3^n}$

$\frac{6(3{)}^{n+2}}{3^{n+1}-3^n}$ کو مختصر کریں۔

1. مخرج: $3^n(3-1)=2\cdot 3^n$۔
2. نسبت: $\frac{6\cdot 3^{n+2}}{2\cdot 3^n}=27$۔

Answer: $27$

س8(i) — اگر $x=3+\sqrt{8}$، تو $x+\frac{1}{x}$ معلوم کریں

$x=3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}$ ہو تو $x+\frac{1}{x}$ معلوم کریں۔

1. $\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ کو مشترک $3-2\sqrt{2}$ سے ناطق بنائیں: مخرج $=9-8=1$، لہٰذا $\frac{1}{x}=3-2\sqrt{2}$۔
2. $x+\frac{1}{x}=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$۔

Answer: $6$

س8(ii) — $x-\frac{1}{x}$ معلوم کریں

$x-\frac{1}{x}$ معلوم کریں۔

1. $x-\frac{1}{x}=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$۔

Answer: $4\sqrt{2}$

س8(iii) — $x^2+\frac{1}{x^2}$ معلوم کریں

$x+\frac{1}{x}=6$ کی مدد سے $x^2+\frac{1}{x^2}$ معلوم کریں۔

1. مربع کریں: ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$۔
2. لہٰذا $x^2+\frac{1}{x^2}=36-2=34$۔

Answer: $34$

س8(iv) — $x^2-\frac{1}{x^2}$ معلوم کریں

$x^2-\frac{1}{x^2}$ معلوم کریں۔

1. $x^2-\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)=6\times 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$۔

Answer: $24\sqrt{2}$

س8(v) — $x^4+\frac{1}{x^4}$ معلوم کریں

$x^2+\frac{1}{x^2}=34$ کی مدد سے $x^4+\frac{1}{x^4}$ معلوم کریں۔

1. دوبارہ مربع کریں: ${\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^2=x^4+2+\frac{1}{x^4}$۔
2. لہٰذا $34^2-2=1154$۔

Answer: $1154$

س8(vi) — ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2$ معلوم کریں

${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2$ معلوم کریں۔

1. $(4\sqrt{2}{)}^2=32$۔

Answer: $32$

س9 — ناطق $p,q$ معلوم کریں: $\frac{8-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=p+q\sqrt{2}$

ناطق اعداد $p,q$ معلوم کریں جب کہ $\frac{8-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=p+q\sqrt{2}$۔

1. مشترک $4-3\sqrt{2}$ سے ضرب دیں۔
2. مخرج: $16-18=-2$۔
3. شمار: $(8-3\sqrt{2})(4-3\sqrt{2})=50-36\sqrt{2}$۔
4. کسر: $\frac{50-36\sqrt{2}}{-2}=-25+18\sqrt{2}$۔

Answer: $p=-25,q=18$

س10(i) — ثابت کریں $a(b+c)=ab+ac$

$a=\frac{3}{2}$، $b=\frac{5}{3}$، $c=\frac{7}{5}$ کے لیے $a(b+c)=ab+ac$ ثابت کریں۔

1. $b+c=\frac{25+21}{15}=\frac{46}{15}$۔
2. $a(b+c)=\frac{3}{2}\times \frac{46}{15}=\frac{23}{5}$۔
3. $ab=\frac{5}{2}$، $ac=\frac{21}{10}$؛ $ab+ac=\frac{46}{10}=\frac{23}{5}$ — برابر ہے۔

Answer: دونوں اطراف $\frac{23}{5}$ کے برابر — ثابت

س10(ii) — ثابت کریں $(a+b)c=ac+bc$

انہی اعداد کے لیے $(a+b)c=ac+bc$ ثابت کریں۔

1. $a+b=\frac{19}{6}$۔
2. $(a+b)c=\frac{19}{6}\times \frac{7}{5}=\frac{133}{30}$۔
3. $ac+bc=\frac{63}{30}+\frac{70}{30}=\frac{133}{30}$ — برابر ہے۔

Answer: دونوں اطراف $\frac{133}{30}$ کے برابر — ثابت

ع1 — تین مسلسل صحیح اعداد جن کا مجموعہ 42 ہے

تین مسلسل صحیح اعداد کا مجموعہ $42$ ہے، تینوں معلوم کریں۔

1. اعداد $n-1,n,n+1$ فرض کریں۔
2. مجموعہ: $3n=42\Rightarrow n=14$۔

Answer: $13,14,15$

ع2 — مثلث کا ضلع جذری صورت میں

قائمۃ الزاویہ مثلث $ABC$ میں زاویہ قائمہ $A$ پر ہے، $AC=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ سینٹی میٹر (ایک ضلع) اور رقبہ $=1+\sqrt{15}$ مربع سینٹی میٹر ہے۔ $AB$ کو $(a\sqrt{3}+b\sqrt{5})$ کی صورت میں معلوم کریں۔

1. زاویہ $A$ پر ہونے کی وجہ سے $AB$ اور $AC$ دونوں اضلاع ہیں، اس لیے رقبہ $=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC$۔
2. $AB=\frac{2(1+\sqrt{15})}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$؛ مشترک $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ سے ناطق بنائیں (مخرج $=2$)۔
3. شمار: $2(1+\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=8\sqrt{3}-4\sqrt{5}$۔
4. $2$ سے تقسیم: $AB=4\sqrt{3}-2\sqrt{5}$۔

Answer: $AB=4\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ سینٹی میٹر

ع3 — مستطیل کا رقبہ جذری صورت میں

ایک مستطیل کے اضلاع $2+\sqrt{18}$ میٹر اور $\left(5-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)$ میٹر ہیں۔ رقبہ $a+b\sqrt{2}$ کی صورت میں معلوم کریں۔

1. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$، ضلع$1=2+3\sqrt{2}$؛ $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$، ضلع$2=5-2\sqrt{2}$۔
2. رقبہ $=(2+3\sqrt{2})(5-2\sqrt{2})=10-4\sqrt{2}+15\sqrt{2}-12$۔
3. $=-2+11\sqrt{2}$۔

Answer: $-2+11\sqrt{2}$ مربع میٹر

ع4 — مجموعے اور فرق سے دو اعداد

دو اعداد معلوم کریں جن کا مجموعہ $68$ اور فرق $22$ ہے۔

1. $x+y=68$، $x-y=22$۔
2. جمع: $2x=90\Rightarrow x=45$۔
3. $y=68-45=23$۔

Answer: $45$ اور $23$

ع5 — سینٹی گریڈ سے فارن ہائیٹ

$48^{\circ }$ سینٹی گریڈ کو $°F=\frac{9}{5}°C+32$ سے فارن ہائیٹ میں تبدیل کریں۔

1. $°F=\frac{9}{5}(48)+32=86.4+32$۔

Answer: $118.4^{\circ }F$

ع6 — باپ اور بیٹے کی عمریں

باپ اور بیٹے کی عمر کا مجموعہ $72$ سال ہے۔ چھے سال پہلے باپ کی عمر بیٹے سے دوگنا تھی۔ چھے سال پہلے بیٹے کی عمر معلوم کریں۔

1. بیٹے کی موجودہ عمر $s$، باپ کی $f$؛ $f+s=72$۔
2. چھے سال پہلے: $f-6=2(s-6)\Rightarrow f=2s-6$۔
3. $s$ کے لیے حل: $3s=78\Rightarrow s=26$۔
4. چھے سال پہلے کی عمر $=26-6=20$۔

Answer: $20$ سال

ع7 — منافع فیصد

مرحا نے کھلونا 1500 روپے میں خریدا اور 1520 روپے میں بیچا۔ منافع فیصد معلوم کریں۔

1. منافع $=1520-1500=20$۔
2. منافع٪ $=\frac{20}{1500}\times 100=\frac{4}{3}\%$۔

Answer: $\frac{4}{3}\%\approx 1.33\%$

ع8 — انکم ٹیکس

طیب کی سالانہ آمدنی 960,000 روپے، مستثنیٰ 130,000 روپے۔ $0.75\%$ کی شرح سے ٹیکس معلوم کریں۔

1. قابلِ ٹیکس آمدنی $=960,000-130,000=830,000$۔
2. ٹیکس $=0.0075\times 830,000$۔

Answer: $6,225$ روپے

ع9 — ایک سالہ منافع

375,000 روپے پر ایک سال کے لیے $14\%$ سالانہ مرکب منافع معلوم کریں۔

1. ایک سال کے لیے مرکب منافع، سادہ منافع کے برابر ہوتا ہے۔
2. منافع $=375,000\times 0.14$۔

Answer: $52,500$ روپے

ع10 — تین مسلسل طاق اعداد

تین مسلسل طاق اعداد کا مجموعہ $51$ ہے، معلوم کریں۔

1. اعداد $n-2,n,n+2$ فرض کریں۔
2. $3n=51\Rightarrow n=17$۔

Answer: $15,17,19$

ع11 — دو ٹوکریوں میں گیندیں

عبداللہ نے 96 گیندیں دو ٹوکریوں میں رکھیں؛ ایک میں دوسری سے 28 زیادہ ہیں۔ ہر ٹوکری میں تعداد معلوم کریں۔

1. چھوٹی ٹوکری میں $x$، بڑی میں $x+28$۔
2. $2x+28=96\Rightarrow x=34$۔

Answer: $34$ اور $62$ گیندیں

ع12 — دو مختلف شرحوں پر سادہ منافع

سلمیٰ نے 350,000 روپے $7\frac{1}{4}\%$ پر 2 سال کے لیے لگائے، پھر شرح $8\%$ ہوگئی۔ 7 سال بعد کل رقم معلوم کریں۔

1. پہلے 2 سال کا منافع: $350,000\times 0.0725\times 2=50,750$۔
2. باقی 5 سال کا منافع بشرح $8\%$: $350,000\times 0.08\times 5=140,000$۔
3. کل منافع $=190,750$۔
4. کل رقم $=350,000+190,750$۔

Answer: $540,750$ روپے