9th Class Math Chapter 8 Notes

س1(i) — $\sim p\to q$ کے لیے

اُلٹ، معکوس اور ضد نقیض لکھیں۔

1. اُلٹ دونوں اطراف بدلتا ہے: $q\to \sim p$۔
2. معکوس اصل بیان کے دونوں اطراف کی نفی کرتا ہے: $\sim (\sim p)\to \sim q$، یعنی $p\to \sim q$۔
3. ضد نقیض نفی کر کے بدلتا ہے: $\sim q\to \sim (\sim p)$، یعنی $\sim q\to p$۔

Answer: اُلٹ: $q\to \sim p$؛ معکوس: $p\to \sim q$؛ ضد نقیض: $\sim q\to p$

س1(ii) — $q\to p$ کے لیے

اُلٹ، معکوس اور ضد نقیض لکھیں۔

1. اُلٹ: $p\to q$۔
2. معکوس: $\sim q\to \sim p$۔
3. ضد نقیض: $\sim p\to \sim q$۔

Answer: اُلٹ: $p\to q$؛ معکوس: $\sim q\to \sim p$؛ ضد نقیض: $\sim p\to \sim q$

س1(iii) — $\sim p\to \sim q$ کے لیے

اُلٹ، معکوس اور ضد نقیض لکھیں۔

1. اُلٹ: $\sim q\to \sim p$۔
2. معکوس: $\sim (\sim p)\to \sim (\sim q)$، یعنی $p\to q$۔
3. ضد نقیض: $\sim (\sim q)\to \sim (\sim p)$، یعنی $q\to p$۔

Answer: اُلٹ: $\sim q\to \sim p$؛ معکوس: $p\to q$؛ ضد نقیض: $q\to p$

س1(iv) — $\sim q\to \sim p$ کے لیے

اُلٹ، معکوس اور ضد نقیض لکھیں۔

1. اُلٹ: $\sim p\to \sim q$۔
2. معکوس: $\sim (\sim q)\to \sim (\sim p)$، یعنی $q\to p$۔
3. ضد نقیض: $\sim (\sim p)\to \sim (\sim q)$، یعنی $p\to q$۔

Answer: اُلٹ: $\sim p\to \sim q$؛ معکوس: $q\to p$؛ ضد نقیض: $p\to q$

س2(i) — صدق جدول: $\sim (p\vee q)\vee (\sim q)$

صدق جدول بنائیں۔

1. $p,q$ کے چاروں امتزاج لکھیں، $p\vee q$، پھر $\sim (p\vee q)$، پھر $\sim q$ نکالیں، پھر OR کریں۔
2. $T,T\to F$؛ $T,F\to T$؛ $F,T\to F$؛ $F,F\to T$۔

Answer: نتیجہ کالم: $F,T,F,T$ ($p,q=$ TT,TF,FT,FF کے لیے)

س2(ii) — صدق جدول: $\sim (\sim q\vee \sim p)$

صدق جدول بنائیں۔

1. ڈی مورگن کے قانون سے یہ $p\wedge q$ کے برابر ہے۔
2. $T,T\to T$؛ $T,F\to F$؛ $F,T\to F$؛ $F,F\to F$۔

Answer: نتیجہ کالم: $T,F,F,F$ — $p\wedge q$ سے یکساں

س2(iii) — صدق جدول: $(p\vee q)\leftrightarrow (p\wedge q)$

صدق جدول بنائیں۔

1. $p\vee q$: $T,T,T,F$؛ $p\wedge q$: $T,F,F,F$۔
2. دو مشروطی اس وقت درست جب دونوں کالم ملیں۔

Answer: نتیجہ کالم: $T,F,F,T$ ($p,q=$ TT,TF,FT,FF کے لیے)

س3(i) — ثابت کریں: $(x-4{)}^2+9=x^2-8x+25$

بائیں طرف دائیں طرف کے برابر ثابت کریں۔

1. $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$۔
2. بائیں طرف $=x^2-8x+16+9=x^2-8x+25=$ دائیں طرف۔

Answer: ثابت

س3(ii) — ثابت کریں: $(x+1{)}^2-(x-1{)}^2=4x$

شناخت ثابت کریں۔

1. فرق مربعات: $[(x+1)+(x-1)][(x+1)-(x-1)]=(2x)(2)=4x$۔

Answer: ثابت

س3(iii) — ثابت کریں: $(x+5{)}^2-(x-5{)}^2=20x$

شناخت ثابت کریں۔

1. $[(x+5)+(x-5)][(x+5)-(x-5)]=(2x)(10)=20x$۔

Answer: ثابت

س4(i) — ثابت کریں: $\frac{4+16x}{4}=1+4x$

ہر مرحلے کی وضاحت کرتے ہوئے ثابت کریں۔

1. کسر تقسیم کریں: $\frac{4}{4}+\frac{16x}{4}=1+4x$۔

Answer: ثابت

س4(ii) — ثابت کریں: $\frac{6x^2+18x}{3x^2-27}=\frac{2x}{x-3}$

ہر مرحلے کی وضاحت کرتے ہوئے ثابت کریں۔

1. صورت $=6x(x+3)$؛ مخرج $=3(x-3)(x+3)$۔
2. مشترک جزو $(x+3)$ کاٹیں (چونکہ $x\ne -3$): $\frac{6x(x+3)}{3(x-3)(x+3)}=\frac{6x}{3(x-3)}=\frac{2x}{x-3}$۔

Answer: ثابت

س4(iii) — ثابت کریں: $\frac{x^2+7x+10}{x^2-3x-10}=\frac{x+5}{x-5}$

ہر مرحلے کی وضاحت کرتے ہوئے ثابت کریں۔

1. صورت $=(x+2)(x+5)$؛ مخرج $=(x-5)(x+2)$۔
2. $(x+2)$ کاٹیں (چونکہ $x\ne -2$): $\frac{x+5}{x-5}$۔

Answer: ثابت

س5(i) — اگر $x$ طاق ہو تو ثابت کریں $9x+4$ طاق ہے

بیان ثابت کریں۔

1. فرض کریں $x=2k+1$ کسی صحیح عدد $k$ کے لیے۔
2. $9x+4=9(2k+1)+4=18k+13=2(9k+6)+1$ — شکل $2m+1$ میں، لہٰذا طاق۔

Answer: ثابت: $9x+4$ طاق ہے

س5(ii) — اگر $x$ طاق ہو تو ثابت کریں $7x+5$ جفت ہے

بیان ثابت کریں۔

1. $x=2k+1$: $7x+5=7(2k+1)+5=14k+12=2(7k+6)$ — جفت۔

Answer: ثابت: $7x+5$ جفت ہے

س6(i) — اگر $x$ طاق ہو تو ثابت کریں $x^2-4x+6$ طاق ہے

بیان ثابت کریں۔

1. $x=2k+1$: $x^2=4k^2+4k+1$۔
2. $x^2-4x+6=4k^2+4k+1-8k-4+6=4k^2-4k+3=2(2k^2-2k+1)+1$ — طاق۔

Answer: ثابت: $x^2-4x+6$ طاق ہے

س6(ii) — اگر $x$ جفت ہو تو ثابت کریں $x^2+2x+4$ جفت ہے

بیان ثابت کریں۔

1. $x=2k$: $x^2+2x+4=4k^2+4k+4=2(2k^2+2k+2)$ — جفت۔

Answer: ثابت: $x^2+2x+4$ جفت ہے

س7 — ثابت کریں $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$

کسی بھی دو غیر خالی سیٹوں $A,B$ کے لیے ڈی مورگن کا قانون ثابت کریں۔

1. اگر $x\in (A\cap B{)}^{\prime }$، تو $x\notin (A\cap B)$، یعنی NOT($x\in A$ AND $x\in B$)، جو $x\notin A$ OR $x\notin B$ کے برابر ہے، یعنی $x\in A^{\prime }\cup B^{\prime }$۔
2. الٹ طرح، اگر $x\in A^{\prime }\cup B^{\prime }$، تو $x\notin A$ یا $x\notin B$، لہٰذا $x\notin (A\cap B)$، یعنی $x\in (A\cap B{)}^{\prime }$۔
3. ہر طرف دوسری طرف کو ثابت کرتی ہے، لہٰذا سیٹ برابر ہیں۔

Answer: ثابت: $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$

س8 — اگر $x,y>0$ اور $x^2<y^2$ ہو تو ثابت کریں $x<y$

بیان ثابت کریں۔

1. $x^2<y^2\Rightarrow y^2-x^2>0\Rightarrow (y-x)(y+x)>0$۔
2. چونکہ $x,y>0$، $y+x>0$؛ اس مثبت مقدار سے تقسیم کرنے پر عدم مساوات کی سمت برقرار رہتی ہے: $y-x>0$۔

Answer: ثابت: $x<y$

س9 — ثابت کریں مثلث کے اندرونی زاویوں کا مجموعہ $180°$ ہے

بیان ثابت کریں۔

1. ایک راس سے مخالف ضلع کے متوازی لکیر کھینچیں۔
2. اس لکیر پر بننے والے دو زاویے مثلث کے باقی دو اندرونی زاویوں کے برابر ہیں (متبادل اندرونی زاویے دونوں قاطع اضلاع کے ساتھ)۔
3. یہ دو زاویے اور راس کا اپنا زاویہ ایک سیدھی لکیر پر ہیں، مجموعہ $180°$ — لہٰذا تمام تین اندرونی زاویوں کا مجموعہ $180°$ ہے۔

Answer: ثابت: اندرونی زاویوں کا مجموعہ $180°$

س10(i) — اگر $a,b,c,d\ne 0$ ہوں تو ثابت کریں $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$

دونوں سمتیں ثابت کریں۔

1. ($\Rightarrow$) دونوں اطراف $bd$ سے ضرب: $\frac{a}{b}(bd)=\frac{c}{d}(bd)\Rightarrow ad=bc$۔
2. ($\Leftarrow$) دونوں اطراف $bd$ سے تقسیم (غیر صفر): $\frac{ad}{bd}=\frac{bc}{bd}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$۔

Answer: دونوں سمتیں ثابت

س10(ii) — ثابت کریں $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

شناخت ثابت کریں۔

1. کسر کی ضرب کی تعریف سے، صورتوں اور مخرجوں کو ضرب دینے پر $\frac{a\times c}{b\times d}=\frac{ac}{bd}$ ملتا ہے۔

Answer: ثابت

س10(iii) — ثابت کریں $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

شناخت ثابت کریں۔

1. $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=a\cdot \frac{1}{b}+c\cdot \frac{1}{b}=(a+c)\cdot \frac{1}{b}$ تقسیمی خاصیت سے، $=\frac{a+c}{b}$۔

Answer: ثابت