9th Class Math Chapter 7 Notes

س1(i) — فاصلہ: $A(6,7),B(0,-2)$

نقاط کے درمیان فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(6-0{)}^2+(7-(-2){)}^2}=\sqrt{36+81}$۔

Answer: $3\sqrt{13}$

س1(ii) — فاصلہ: $C(-5,-2),D(3,2)$

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(-5-3{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{64+16}$۔

Answer: $4\sqrt{5}$

س1(iii) — فاصلہ: $L(0,3),M(-2,-4)$

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(3-(-4){)}^2}=\sqrt{4+49}$۔

Answer: $\sqrt{53}$

س1(iv) — فاصلہ: $P(-8,-7),Q(0,0)$

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{64+49}$۔

Answer: $\sqrt{113}$

س2(i) — فاصلہ اور وسطی نقطہ: $A(3,1),B(-2,-4)$

فاصلہ اور وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(1-(-4){)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$۔
2. وسطی نقطہ $=\left(\frac{3-2}{2},\frac{1-4}{2}\right)$۔

Answer: $d=5\sqrt{2}$؛ وسطی نقطہ $=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$

س2(ii) — فاصلہ اور وسطی نقطہ: $A(-8,3),B(2,-1)$

فاصلہ اور وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(-8-2{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{100+16}$۔
2. وسطی نقطہ $=\left(\frac{-8+2}{2},\frac{3-1}{2}\right)$۔

Answer: $d=2\sqrt{29}$؛ وسطی نقطہ $=(-3,1)$

س2(iii) — فاصلہ اور وسطی نقطہ: $A(-\sqrt{5},-\frac{1}{3}),B(-3\sqrt{5},5)$

فاصلہ اور وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(2\sqrt{5}{)}^2+(-\frac{16}{3}{)}^2}=\sqrt{20+\frac{256}{9}}=\sqrt{\frac{436}{9}}$۔
2. وسطی نقطہ $=\left(\frac{-\sqrt{5}-3\sqrt{5}}{2},\frac{-\frac{1}{3}+5}{2}\right)$۔

Answer: $d=\frac{2\sqrt{109}}{3}$؛ وسطی نقطہ $=\left(-2\sqrt{5},\frac{7}{3}\right)$

س3(i) — کیا $(\sqrt{176},7)$ مبدا سے 15 فاصلے پر ہے؟

مبدا سے فاصلہ چیک کریں۔

1. $d=\sqrt{176+49}=\sqrt{225}$۔

Answer: $d=15$ — جی ہاں، بالکل 15 اکائیاں

س3(ii) — کیا $(10,-10)$ 15 پر ہے؟

مبدا سے فاصلہ چیک کریں۔

1. $d=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$۔

Answer: $d=10\sqrt{2}\approx 14.14$ — 15 نہیں

س3(iii) — کیا $(1,15)$ 15 پر ہے؟

مبدا سے فاصلہ چیک کریں۔

1. $d=\sqrt{1+225}=\sqrt{226}$۔

Answer: $d=\sqrt{226}\approx 15.03$ — بالکل 15 نہیں

س4(i) — قائمۃ الزاویہ ثابت کریں: $A(0,2),B(\sqrt{3},1),C(0,-2)$

ثابت کریں کہ یہ قائمۃ الزاویہ مثلث کے راس ہیں۔

1. $AB=\sqrt{3+1}=2$؛ $BC=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$؛ $AC=\sqrt{0+16}=4$۔
2. $A{B}^2+B{C}^2=4+12=16=A{C}^2$ ✓ — قائمہ زاویہ $B$ پر۔

Answer: قائمۃ الزاویہ مثلث، قائمہ زاویہ $B$ پر

س4(ii) — متساوی الساقین ثابت کریں: $A(3,1),B(-2,-3),C(2,2)$

ثابت کریں کہ یہ متساوی الساقین مثلث کے راس ہیں۔

1. $AB=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$؛ $BC=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$؛ $AC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$۔
2. $AB=BC$ ✓ متساوی الساقین۔

Answer: متساوی الساقین، چونکہ $AB=BC=\sqrt{41}$

س4(iii) — متوازی الاضلاع ثابت کریں: $A(5,2),B(-2,3),C(-3,-4),D(4,-5)$

ثابت کریں کہ یہ متوازی الاضلاع کے راس ہیں۔

1. $AC$ کا وسطی نقطہ $=\left(\frac{5-3}{2},\frac{2-4}{2}\right)=(1,-1)$۔
2. $BD$ کا وسطی نقطہ $=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3-5}{2}\right)=(1,-1)$۔
3. دونوں قطر ایک ہی وسطی نقطے پر ملتے ہیں ✓ متوازی الاضلاع۔

Answer: متوازی الاضلاع، چونکہ دونوں قطر $(1,-1)$ پر ناصف ہوتے ہیں

س5(i) — $h$ معلوم کریں: $A(\sqrt{3},-1),B(0,2),C(h,-2)$ کے لیے قائمہ زاویہ $A$ پر

$h$ معلوم کریں تاکہ قائمہ زاویہ $A$ پر ہو۔

1. $\overrightarrow{AB}=(-\sqrt{3},3)$، $\overrightarrow{AC}=(h-\sqrt{3},-1)$۔
2. قائمہ زاویہ $A$ پر یعنی $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$: $-\sqrt{3}(h-\sqrt{3})-3=0\Rightarrow -\sqrt{3}h+3-3=0$۔

Answer: $h=0$

س5(ii) — $h$ معلوم کریں: ہم خط $A(-1,h),B(3,2),C(7,3)$

$h$ معلوم کریں تاکہ نقاط ہم خط ہوں۔

1. ڈھلوان $AB=$ ڈھلوان $BC$: $\frac{2-h}{4}=\frac{1}{4}$۔

Answer: $h=1$

س5(iii) — $h$ معلوم کریں: $A(h,1),B(2,7),C(-6,-7)$ کے لیے قائمہ زاویہ $A$ پر

$h$ معلوم کریں تاکہ قائمہ زاویہ $A$ پر ہو۔

1. $\overrightarrow{AB}=(2-h,6)$، $\overrightarrow{AC}=(-6-h,-8)$۔
2. $(2-h)(-6-h)+6(-8)=0\Rightarrow h^2+4h-12-48=0\Rightarrow h^2+4h-60=0$۔
3. $(h+10)(h-6)=0$۔

Answer: $h=-10$ یا $h=6$

س6 — مرکز/رداس: قطر کے سرے $A(-5,-2),B(5,-4)$

دائرے کا مرکز اور رداس معلوم کریں۔

1. مرکز $=$ وسطی نقطہ $=\left(\frac{-5+5}{2},\frac{-2-4}{2}\right)$۔
2. رداس $=\frac{1}{2}\sqrt{(-5-5{)}^2+(-2+4{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{104}$۔

Answer: مرکز $=(0,-3)$؛ رداس $=\sqrt{26}$

س7 — $A(9,3),B(-7,7),C(-3,-7),D(5,-5)$ کے وسطی نقاط

اضلاع کے وسطی نقاط معلوم کریں اور ثابت کریں کہ یہ متوازی الاضلاع بناتے ہیں۔

1. وسطی نقاط: $AB\to (1,5)$، $BC\to (-5,0)$، $CD\to (1,-6)$، $DA\to (7,-1)$۔
2. $(1,5)$ اور $(1,-6)$ کا وسطی نقطہ $=(1,-0.5)$؛ $(-5,0)$ اور $(7,-1)$ کا وسطی نقطہ $=(1,-0.5)$ — یکساں۔

Answer: چاروں وسطی نقاط متوازی الاضلاع بناتے ہیں (قطر $(1,-0.5)$ پر ناصف) — یہ وارینیون کا نظریہ ہے

س8(i) — ڈھلوان/جھکاؤ: $(-2,4),(5,11)$

ڈھلوان اور جھکاؤ معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $=\frac{11-4}{5-(-2)}=\frac{7}{7}=1$۔
2. $\tan \theta =1\Rightarrow \theta =45^{\circ }$۔

Answer: ڈھلوان $=1$؛ جھکاؤ $=45^{\circ }$

س8(ii) — ڈھلوان/جھکاؤ: $(3,-2),(2,7)$

ڈھلوان اور جھکاؤ معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $=\frac{7-(-2)}{2-3}=\frac{9}{-1}=-9$۔
2. منفی ڈھلوان $\Rightarrow$ منفرجہ جھکاؤ: $\theta =180^{\circ }-\arctan (9)\approx 96.34^{\circ }$۔

Answer: ڈھلوان $=-9$؛ جھکاؤ $\approx 96.34^{\circ }$

س8(iii) — ڈھلوان/جھکاؤ: $(4,6),(4,8)$

ڈھلوان اور جھکاؤ معلوم کریں۔

1. برابر $x$-محدد $\Rightarrow$ عمودی خط۔

Answer: ڈھلوان غیر متعین؛ جھکاؤ $=90^{\circ }$

س9(i) — ہم خط: $A(-1,-3),B(1,5),C(2,9)$

ثابت کریں یہ نقاط ایک ہی خط پر ہیں۔

1. ڈھلوان $AB=\frac{8}{2}=4$؛ ڈھلوان $BC=\frac{4}{1}=4$ — برابر۔

Answer: ہم خط (دونوں ڈھلوان $=4$)

س9(ii) — ہم خط: $P(4,-5),Q(7,5),R(10,15)$

ثابت کریں یہ نقاط ایک ہی خط پر ہیں۔

1. ڈھلوان $PQ=\frac{10}{3}$؛ ڈھلوان $QR=\frac{10}{3}$ — برابر۔

Answer: ہم خط (دونوں ڈھلوان $=\frac{10}{3}$)

س9(iii) — ہم خط: $L(-4,6),M(3,8),N(10,10)$

ثابت کریں یہ نقاط ایک ہی خط پر ہیں۔

1. ڈھلوان $LM=\frac{2}{7}$؛ ڈھلوان $MN=\frac{2}{7}$ — برابر۔

Answer: ہم خط (دونوں ڈھلوان $=\frac{2}{7}$)

س9(iv) — ہم خط: $X(a,2b),Y(c,a+b),Z(2c-a,2a)$

ثابت کریں یہ نقاط ایک ہی خط پر ہیں۔

1. ڈھلوان $XY=\frac{(a+b)-2b}{c-a}=\frac{a-b}{c-a}$۔
2. ڈھلوان $YZ=\frac{2a-(a+b)}{(2c-a)-c}=\frac{a-b}{c-a}$ — برابر۔

Answer: ہم خط (دونوں ڈھلوان $=\frac{a-b}{c-a}$)

س10(i) — $k$ معلوم کریں (متوازی): $A(7,3),B(k,-6)$ ∥ $C(-4,5),D(-6,4)$

$k$ معلوم کریں تاکہ دونوں خطوط متوازی ہوں۔

1. ڈھلوان $AB=\frac{-9}{k-7}$؛ ڈھلوان $CD=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$۔
2. $\frac{-9}{k-7}=\frac{1}{2}\Rightarrow -18=k-7$۔

Answer: $k=-11$

س10(ii) — $k$ معلوم کریں (عمودی): وہی خطوط

$k$ معلوم کریں تاکہ دونوں خطوط عمودی ہوں۔

1. $\frac{-9}{k-7}\times \frac{1}{2}=-1\Rightarrow \frac{-9}{k-7}=-2\Rightarrow 9=2(k-7)$۔

Answer: $k=\frac{23}{2}$

س11 — قائمۃ الزاویہ ثابت کریں: $A(6,1),B(2,7),C(-6,-7)$

ڈھلوان استعمال کر کے ثابت کریں یہ قائمۃ الزاویہ مثلث ہے۔

1. ڈھلوان $AB=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$؛ ڈھلوان $AC=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}$۔
2. $\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=-1$ — قائمہ زاویہ $A$ پر۔

Answer: قائمۃ الزاویہ مثلث، قائمہ زاویہ $A$ پر

س12(i) — ٹیسٹ: $(1,-2),(2,4)$ اور $(4,1),(-8,2)$

معلوم کریں دونوں خطوط متوازی ہیں، عمودی ہیں، یا کچھ بھی نہیں۔

1. ڈھلوان${}_1=\frac{6}{1}=6$؛ ڈھلوان${}_2=\frac{1}{-12}=-\frac{1}{12}$۔
2. حاصل ضرب $=6\times \left(-\frac{1}{12}\right)=-\frac{1}{2}$ — $-1$ نہیں، ڈھلوانیں بھی مختلف۔

Answer: کچھ بھی نہیں (نہ متوازی نہ عمودی)

س12(ii) — ٹیسٹ: $(-3,4),(6,2)$ اور $(4,5),(-2,-7)$

معلوم کریں دونوں خطوط متوازی ہیں، عمودی ہیں، یا کچھ بھی نہیں۔

1. ڈھلوان${}_1=\frac{-2}{9}$؛ ڈھلوان${}_2=\frac{-12}{-6}=2$۔
2. حاصل ضرب $=-\frac{2}{9}$ — $-1$ نہیں، ڈھلوانیں مختلف۔

Answer: کچھ بھی نہیں (نہ متوازی نہ عمودی)

س13(i) — مساوات: $(7,-9)$ سے گزرنے والا افقی خط

مساوات معلوم کریں۔

1. افقی خط کی شکل $y=c$ ہوتی ہے۔

Answer: $y=-9$

س13(ii) — مساوات: $(-5,3)$ سے گزرنے والا عمودی خط

مساوات معلوم کریں۔

1. عمودی خط کی شکل $x=c$ ہوتی ہے۔

Answer: $x=-5$

س13(iii) — مساوات: $A(-6,5)$ سے گزرنے والا، ڈھلوان $7$

مساوات معلوم کریں۔

1. نقطہ-ڈھلوان: $y-5=7(x+6)$۔

Answer: $y=7x+47$

س13(iv) — مساوات: $(8,-3)$ سے گزرنے والا، ڈھلوان $0$

مساوات معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $0$ یعنی افقی۔

Answer: $y=-3$

س13(v) — مساوات: $(-8,5)$ سے گزرنے والا، ڈھلوان غیر متعین

مساوات معلوم کریں۔

1. غیر متعین ڈھلوان یعنی عمودی۔

Answer: $x=-8$

س13(vi) — مساوات: $(-5,-3)$ اور $(9,-1)$ سے گزرنے والا

مساوات معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $=\frac{-1+3}{9+5}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$۔
2. $y+3=\frac{1}{7}(x+5)\Rightarrow y=\frac{x}{7}-\frac{16}{7}$۔

Answer: $y=\frac{1}{7}x-\frac{16}{7}$

س13(vii) — مساوات: $y$-قاطع $-7$، ڈھلوان $-5$

مساوات معلوم کریں۔

1. $y=mx+c$ جہاں $m=-5,c=-7$۔

Answer: $y=-5x-7$

س13(viii) — مساوات: $x$-قاطع $-3$، $y$-قاطع $4$

مساوات معلوم کریں۔

1. قاطع شکل $\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1$؛ $-12$ سے ضرب: $4x-3y=-12$۔

Answer: $y=\frac{4}{3}x+4$

س13(ix) — مساوات: $x$-قاطع $-9$، ڈھلوان $-4$

مساوات معلوم کریں۔

1. $(-9,0)$ سے گزرتا ہے: $y-0=-4(x+9)$۔

Answer: $y=-4x-36$

س14(i) — $A(3,5),B(9,8)$ کا عمودی ناصف

عمودی ناصف کی مساوات معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=(6,6.5)$؛ ڈھلوان $AB=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$، لہٰذا عمودی ڈھلوان $=-2$۔
2. $y-6.5=-2(x-6)$۔

Answer: $y=-2x+18.5$

س14(ii) — $(-4,-6)$ سے، ڈھلوان $-\frac{3}{2}$ پر عمود

مساوات معلوم کریں۔

1. عمودی ڈھلوان $=\frac{2}{3}$۔
2. $y+6=\frac{2}{3}(x+4)$۔

Answer: $y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$

س14(iii) — $(11,-5)$ سے، ڈھلوان $-24$ کے متوازی

مساوات معلوم کریں۔

1. وہی ڈھلوان $-24$: $y+5=-24(x-11)$۔

Answer: $y=-24x+259$

س15(i) — تبدیل کریں: $2x-4y+11=0$

تینوں شکلوں میں تبدیل کریں۔

1. ڈھلوان-قاطع: $y=\frac{x}{2}+\frac{11}{4}$۔
2. دو قاطع: $x$-قاطع $=-\frac{11}{2}$، $y$-قاطع $=\frac{11}{4}$۔
3. عمومی: $r=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$؛ چونکہ $c=11>0$، $-r$ سے تقسیم: $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}},\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}},p=\frac{11}{2\sqrt{5}}$۔

Answer: $y=\frac{x}{2}+\frac{11}{4}$؛ قاطع $-\frac{11}{2},\frac{11}{4}$؛ عمومی شکل مذکورہ بالا

س15(ii) — تبدیل کریں: $4x+7y-2=0$

تینوں شکلوں میں تبدیل کریں۔

1. ڈھلوان-قاطع: $y=-\frac{4}{7}x+\frac{2}{7}$۔
2. دو قاطع: $x$-قاطع $=\frac{1}{2}$، $y$-قاطع $=\frac{2}{7}$۔
3. عمومی: $r=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$؛ $c=-2<0$، $+r$ سے تقسیم: $\cos \alpha =\frac{4}{\sqrt{65}},\sin \alpha =\frac{7}{\sqrt{65}},p=\frac{2}{\sqrt{65}}$۔

Answer: $y=-\frac{4}{7}x+\frac{2}{7}$؛ قاطع $\frac{1}{2},\frac{2}{7}$؛ عمومی شکل مذکورہ بالا

س15(iii) — تبدیل کریں: $15y-8x+3=0$

تینوں شکلوں میں تبدیل کریں۔

1. ڈھلوان-قاطع: $y=\frac{8}{15}x-\frac{1}{5}$۔
2. دو قاطع: $x$-قاطع $=\frac{3}{8}$، $y$-قاطع $=-\frac{1}{5}$۔
3. عمومی: $r=\sqrt{64+225}=17$؛ $c=3>0$، $-r$ سے تقسیم: $\cos \alpha =\frac{8}{17},\sin \alpha =-\frac{15}{17},p=\frac{3}{17}$۔

Answer: $y=\frac{8}{15}x-\frac{1}{5}$؛ قاطع $\frac{3}{8},-\frac{1}{5}$؛ عمومی شکل مذکورہ بالا

س16(i) — چیک: $2x+y-3=0$؛ $4x+2y+5=0$

تعلق معلوم کریں۔

1. ڈھلوانیں: $-2$ اور $-2$ (از $4x+2y+5=0\Rightarrow y=-2x-2.5$) — برابر۔

Answer: متوازی

س16(ii) — چیک: $3y=2x+5$؛ $3x+2y-8=0$

تعلق معلوم کریں۔

1. ڈھلوانیں: $\frac{2}{3}$ اور $-\frac{3}{2}$؛ حاصل ضرب $=-1$۔

Answer: عمودی

س16(iii) — چیک: $4y+2x-1=0$؛ $x-2y-7=0$

تعلق معلوم کریں۔

1. ڈھلوانیں: $-\frac{1}{2}$ اور $\frac{1}{2}$؛ حاصل ضرب $=-\frac{1}{4}$، ڈھلوانیں بھی مختلف۔

Answer: کچھ بھی نہیں (نہ متوازی نہ عمودی)

س17(i) — $(-4,7)$ سے، $2x-7y+4=0$ کے متوازی

مساوات معلوم کریں۔

1. دیے گئے خط کی ڈھلوان $=\frac{2}{7}$۔
2. $y-7=\frac{2}{7}(x+4)$۔

Answer: $y=\frac{2}{7}x+\frac{57}{7}$

س17(ii) — $(5,-8)$ سے، $A(-15,-8),B(10,7)$ کے ملانے والے خط پر عمود

مساوات معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $AB=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$، لہٰذا عمودی ڈھلوان $=-\frac{5}{3}$۔
2. $y+8=-\frac{5}{3}(x-5)$۔

Answer: $y=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}$

ع1 — دو گھروں کا فاصلہ: $(2,6),(9,12)$ کلومیٹر

خط مستقیم فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(9-2{)}^2+(12-6{)}^2}=\sqrt{49+36}$۔

Answer: $\sqrt{85}$ کلومیٹر

ع2 — پگڈنڈی وسطی نقطہ: $(5,7)$ سے $(15,3)$

وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=\left(\frac{5+15}{2},\frac{7+3}{2}\right)$۔

Answer: $(10,5)$

ع3 — عمارتوں کا فاصلہ: $(10,8),(4,3)$ میٹر

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(10-4{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{36+25}$۔

Answer: $\sqrt{61}$ میٹر

ع4 — ڈیلیوری فاصلہ: $(7,2),(12,10)$ کلومیٹر

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(12-7{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{25+64}$۔

Answer: $\sqrt{89}$ کلومیٹر

ع5 — ریس ٹریک وسطی نقطہ: $(3,9),(9,3)$

وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=\left(\frac{3+9}{2},\frac{9+3}{2}\right)$۔

Answer: $(6,6)$

ع6 — سڑک وسطی نقطہ: $A(3,4),B(7,10)$

وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=\left(\frac{3+7}{2},\frac{4+10}{2}\right)$۔

Answer: $(5,7)$

ع7 — بندرگاہوں کا فاصلہ (محدداتی مشق): $(12,65),(20,45)$

دیے گئے عرض/طول بلد اعداد کو مستوی محدد سمجھتے ہوئے فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(20-12{)}^2+(65-45{)}^2}=\sqrt{64+400}$۔

Answer: $4\sqrt{29}$ (محدداتی فاصلے کی مشق؛ حقیقی جغرافیائی فاصلے کے لیے کروی مثلثیات درکار ہے)

ع8 — باڑ کا احاطہ: مستطیل $(0,0),(0,5),(8,5),(8,0)$

احاطہ معلوم کریں۔

1. اضلاع $=5$ اور $8$؛ احاطہ $=2(5+8)$۔

Answer: $26$ میٹر

ع9 — ہوائی جہاز کا فاصلہ: $(40,100),(50,80)$

دیے گئے اعداد کو مستوی محدد سمجھتے ہوئے فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(50-40{)}^2+(100-80{)}^2}=\sqrt{100+400}$۔

Answer: $10\sqrt{5}$

ع10 — سروے کا احاطہ: $(3,1),(3,6),(8,6),(8,1)$

احاطہ معلوم کریں۔

1. یہ $5$ ضلع والا مربع ہے؛ احاطہ $=4\times 5$۔

Answer: $20$

ع11 — باغ کی باڑ: $A(0,0),B(5,0),C(5,3),D(0,3)$

درکار باڑ معلوم کریں۔

1. اضلاع $=5$ اور $3$؛ احاطہ $=2(5+3)$۔

Answer: $16$

س18(i) — فاصلہ: $A(2,3),B(7,8)$

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(7-2{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{25+25}$۔

Answer: $5\sqrt{2}$

س18(ii) — وسطی نقطہ: $(4,-2),(-6,3)$

وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=\left(\frac{4-6}{2},\frac{-2+3}{2}\right)$۔

Answer: $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$

س18(iii) — میلان: $(1,2),(4,6)$

میلان معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $=\frac{6-2}{4-1}$۔

Answer: $\frac{4}{3}$

س18(iv) — $(3,7),(5,11)$ سے گزرنے والے خط کی مساوات $y=mx+c$

مساوات معلوم کریں۔

1. ڈھلوان $=\frac{11-7}{5-3}=2$۔
2. $y-7=2(x-3)$۔

Answer: $y=2x+1$

س18(v) — متوازی میلان، دیا گیا $\frac{2}{3}$

دوسرے (متوازی) خط کا میلان معلوم کریں۔

1. متوازی خطوط کی ڈھلوانیں برابر ہوتی ہیں۔

Answer: $\frac{2}{3}$

ع12 — ہوائی جہاز کا فاصلہ: $A(12,5)$ سے $B(8,-4)$

فاصلہ معلوم کریں۔

1. $d=\sqrt{(12-8{)}^2+(5+4{)}^2}=\sqrt{16+81}$۔

Answer: $\sqrt{97}$

ع13 — راستے کا وسطی نقطہ: $(2,3)$ سے $(10,7)$

وسطی نقطہ معلوم کریں۔

1. وسطی نقطہ $=\left(\frac{2+10}{2},\frac{3+7}{2}\right)$۔

Answer: $(6,5)$

ع14 — ڈرون میلان اور فاصلہ: $(2,3)$ سے $(10,15)$

میلان اور کل فاصلہ معلوم کریں۔

1. میلان $=\frac{15-3}{10-2}=\frac{12}{8}$۔
2. فاصلہ $=\sqrt{(10-2{)}^2+(15-3{)}^2}=\sqrt{64+144}$۔

Answer: میلان $=\frac{3}{2}$؛ فاصلہ $=4\sqrt{13}$

س19(i) — ڈھلوان-قاطع شکل

مساوات ڈھلوان-قاطع شکل میں لکھیں۔

1. دیے گئے میلان اور $y$-قاطع سے براہ راست۔

Answer: $y=-3x+2$

س19(ii) — نقطہ-ڈھلوان شکل (نقطہ $(0,2)$ استعمال کرتے ہوئے)

مساوات نقطہ-ڈھلوان شکل میں لکھیں۔

1. $(0,2)$ خط $y=-3x+2$ پر ہے: $y-2=-3(x-0)$۔

Answer: $y-2=-3x$

س19(iii) — دو نقطہ شکل ($(0,2)$ اور $(1,-1)$ استعمال کرتے ہوئے، دونوں خط پر)

مساوات دو نقطہ شکل میں لکھیں۔

1. ڈھلوان چیک: $\frac{-1-2}{1-0}=-3$ ✓ مطابقت۔
2. $\frac{y-2}{x-0}=-3$۔

Answer: $y-2=-3x$ (وہی خط، مطابقت کی تصدیق)

س19(iv) — قاطع شکل

مساوات قاطع شکل میں لکھیں۔

1. $x$-قاطع: $0=-3x+2\Rightarrow x=\frac{2}{3}$؛ $y$-قاطع $=2$۔
2. $\frac{x}{2/3}+\frac{y}{2}=1$۔

Answer: $3x+y=2$

س19(v) — سیمیٹرک شکل

مساوات سیمیٹرک شکل میں لکھیں۔

1. سمتی ویکٹر $(1,-3)$، مقدار $\sqrt{10}$۔
2. $\frac{x-0}{1/\sqrt{10}}=\frac{y-2}{-3/\sqrt{10}}=r$۔

Answer: $\frac{x}{1/\sqrt{10}}=\frac{y-2}{-3/\sqrt{10}}=r$

س19(vi) — عمومی شکل

مساوات عمومی شکل میں لکھیں۔

1. $3x+y-2=0$ سے: $r=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$؛ $c=-2<0$، $+r$ سے تقسیم۔

Answer: $\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},p=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$