9th Class Math Chapter 6 Notes

س1(i) — کواڈرینٹ: $65^{\circ }$

کواڈرینٹ اور ایک ہم خاتمہ زاویہ معلوم کریں۔

1. $0^{\circ }<65^{\circ }<90^{\circ }$: کواڈرینٹ I۔
2. ہم خاتمہ زاویے کے لیے $360^{\circ }$ جمع کریں۔

Answer: کواڈرینٹ I؛ ہم خاتمہ $=425^{\circ }$

س1(ii) — کواڈرینٹ: $135^{\circ }$

کواڈرینٹ اور ہم خاتمہ زاویہ معلوم کریں۔

1. $90^{\circ }<135^{\circ }<180^{\circ }$: کواڈرینٹ II۔

Answer: کواڈرینٹ II؛ ہم خاتمہ $=495^{\circ }$

س1(iii) — کواڈرینٹ: $-40^{\circ }$

کواڈرینٹ اور ہم خاتمہ زاویہ معلوم کریں۔

1. $-40^{\circ }+360^{\circ }=320^{\circ }$، جو $270^{\circ }$ اور $360^{\circ }$ کے درمیان ہے: کواڈرینٹ IV۔

Answer: کواڈرینٹ IV؛ ہم خاتمہ $=320^{\circ }$

س1(iv) — کواڈرینٹ: $210^{\circ }$

کواڈرینٹ اور ہم خاتمہ زاویہ معلوم کریں۔

1. $180^{\circ }<210^{\circ }<270^{\circ }$: کواڈرینٹ III۔

Answer: کواڈرینٹ III؛ ہم خاتمہ $=570^{\circ }$

س1(v) — کواڈرینٹ: $-150^{\circ }$

کواڈرینٹ اور ہم خاتمہ زاویہ معلوم کریں۔

1. $-150^{\circ }+360^{\circ }=210^{\circ }$، $180^{\circ }$ اور $270^{\circ }$ کے درمیان: کواڈرینٹ III۔

Answer: کواڈرینٹ III؛ ہم خاتمہ $=210^{\circ }$

س2(i) — $123.456^{\circ }$ کو D°M'S" میں بدلیں

درجہ، منٹ، سیکنڈ میں تبدیل کریں۔

1. مکمل حصہ: $123^{\circ }$۔
2. $0.456\times 60=27.36^{\prime }$؛ مکمل حصہ $27^{\prime }$۔
3. $0.36\times 60=21.6^{\prime \prime }$۔

Answer: $123^{\circ }27^{\prime }21.6^{\prime \prime }$

س2(ii) — $58.7891^{\circ }$ تبدیل کریں

درجہ، منٹ، سیکنڈ میں تبدیل کریں۔

1. $58^{\circ }$؛ $0.7891\times 60=47.346^{\prime }\to 47^{\prime }$؛ $0.346\times 60=20.76^{\prime \prime }$۔

Answer: $58^{\circ }47^{\prime }20.76^{\prime \prime }$

س2(iii) — $90.5678^{\circ }$ تبدیل کریں

درجہ، منٹ، سیکنڈ میں تبدیل کریں۔

1. $90^{\circ }$؛ $0.5678\times 60=34.068^{\prime }\to 34^{\prime }$؛ $0.068\times 60=4.08^{\prime \prime }$۔

Answer: $90^{\circ }34^{\prime }4.08^{\prime \prime }$

س3(i) — $65^{\circ }32^{\prime }15^{\prime \prime }$ کو اعشاری درجہ میں بدلیں

اعشاری درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $65+\frac{32}{60}+\frac{15}{3600}=65+0.5333+0.004167$۔

Answer: $65.5375^{\circ }$

س3(ii) — $42^{\circ }18^{\prime }45^{\prime \prime }$ تبدیل کریں

اعشاری درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $42+\frac{18}{60}+\frac{45}{3600}=42+0.3+0.0125$۔

Answer: $42.3125^{\circ }$

س3(iii) — $78^{\circ }45^{\prime }36^{\prime \prime }$ تبدیل کریں

اعشاری درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $78+\frac{45}{60}+\frac{36}{3600}=78+0.75+0.01$۔

Answer: $78.76^{\circ }$

س4(i) — $36^{\circ }$ کو ریڈین میں بدلیں

ریڈین میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{\pi }{180}$ سے ضرب: $\frac{36\pi }{180}=\frac{\pi }{5}$۔

Answer: $\frac{\pi }{5}\approx 0.6283$ ریڈین

س4(ii) — $22.5^{\circ }$ تبدیل کریں

ریڈین میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{22.5\pi }{180}=\frac{\pi }{8}$۔

Answer: $\frac{\pi }{8}\approx 0.3927$ ریڈین

س4(iii) — $67.5^{\circ }$ تبدیل کریں

ریڈین میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{67.5\pi }{180}=\frac{3\pi }{8}$۔

Answer: $\frac{3\pi }{8}\approx 1.1781$ ریڈین

س5(i) — $\frac{\pi }{16}$ ریڈین کو درجہ میں بدلیں

درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{180}{\pi }$ سے ضرب: $\frac{180}{16}=11.25^{\circ }$۔

Answer: $11.25^{\circ }=11^{\circ }15^{\prime }$

س5(ii) — $\frac{11\pi }{5}$ ریڈین تبدیل کریں

درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{11\times 180}{5}=11\times 36$۔

Answer: $396^{\circ }$

س5(iii) — $\frac{7\pi }{6}$ ریڈین تبدیل کریں

درجہ میں تبدیل کریں۔

1. $\frac{7\times 180}{6}=7\times 30$۔

Answer: $210^{\circ }$

س6(i) — قوس/رقبہ: $r=6$ سینٹی میٹر، $\theta =\frac{\pi }{3}$

قوس کی لمبائی اور قطعہ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. قوس $s=r\theta =6\times \frac{\pi }{3}=2\pi$ سینٹی میٹر۔
2. رقبہ $=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}(36)\frac{\pi }{3}=6\pi$ سینٹی میٹر مربع۔

Answer: $s=2\pi \approx 6.28$ سینٹی میٹر؛ رقبہ $=6\pi \approx 18.85$ سینٹی میٹر مربع

س6(ii) — قوس/رقبہ: $r=\frac{4.8}{\pi }$ سینٹی میٹر، $\theta =\frac{5\pi }{6}$

قوس کی لمبائی اور قطعہ کا رقبہ معلوم کریں۔

1. $s=r\theta =\frac{4.8}{\pi }\times \frac{5\pi }{6}=\frac{4.8\times 5}{6}=4$ سینٹی میٹر۔
2. رقبہ $=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{9.6}{\pi }$ سینٹی میٹر مربع۔

Answer: $s=4$ سینٹی میٹر؛ رقبہ $=\frac{9.6}{\pi }\approx 3.06$ سینٹی میٹر مربع

ع1 — قطعہ کا رقبہ اور فیصد: $\theta =60^{\circ }$، $r=12$ سینٹی میٹر

قطعہ کا رقبہ اور دائرے کا کتنا فیصد ہے معلوم کریں۔

1. رقبہ $=\frac{60}{360}\pi r^2=\frac{1}{6}\times \pi \times 144=24\pi$ سینٹی میٹر مربع۔
2. فیصد $=\frac{60}{360}\times 100\%$۔

Answer: رقبہ $=24\pi \approx 75.4$ سینٹی میٹر مربع؛ دائرے کا $16.67\%$

س7 — $\theta =\frac{\pi }{8}$ ریڈین کے لیے رقبے کا فیصد

دائرے کے رقبے کا فیصد معلوم کریں۔

1. درجہ میں تبدیل: $\frac{\pi }{8}\times \frac{180}{\pi }=22.5^{\circ }$۔
2. فیصد $=\frac{22.5}{360}\times 100\%$۔

Answer: $6.25\%$

ع2 — قطعہ سے شنک: $r=12$ سینٹی میٹر، زاویہ $150^{\circ }$

بننے والے شنک کی ترچھی اونچائی اور بنیادی رداس معلوم کریں۔

1. قوس $=r\theta =12\times \left(150\times \frac{\pi }{180}\right)=12\times \frac{5\pi }{6}=10\pi$ سینٹی میٹر۔
2. یہ قوس شنک کی بنیاد کا دائرہ بنتی ہے: $2\pi R=10\pi \Rightarrow R=5$ سینٹی میٹر۔
3. قطعہ کا رداس شنک کی ترچھی اونچائی بنتا ہے۔

Answer: ترچھی اونچائی $=12$ سینٹی میٹر؛ بنیادی رداس $=5$ سینٹی میٹر

س8(i) — نسبتیں: $BC=4,AB=3,CA=5$ (قائمہ زاویہ $B$ پر)

$\theta =\angle A$ اور $\varphi =\angle C$ کے لیے تمام دس مثلثی نسبتیں معلوم کریں۔

1. وتر $CA=5$ (چیک: $3^2+4^2=5^2$ ✓)۔
2. $\theta$: مقابل $=BC=4$، متصل $=AB=3$، وتر $=5$۔
3. $\varphi$: مقابل $=AB=3$، متصل $=BC=4$، وتر $=5$۔

Answer: $\sin \theta =\frac{4}{5},\cos \theta =\frac{3}{5},\tan \theta =\frac{4}{3},\sec \theta =\frac{5}{3},\csc \theta =\frac{5}{4}$; $\cot \varphi =\frac{4}{3},\tan \varphi =\frac{3}{4},\csc \varphi =\frac{5}{3},\sec \varphi =\frac{5}{4},\cos \varphi =\frac{4}{5}$

س8(ii) — نسبتیں: $BC=8,AB=15,CA=17$

$\theta =\angle A$ اور $\varphi =\angle C$ کے لیے تمام دس نسبتیں معلوم کریں۔

1. وتر $CA=17$ (چیک: $8^2+15^2=17^2$ ✓)۔

Answer: $\sin \theta =\frac{8}{17},\cos \theta =\frac{15}{17},\tan \theta =\frac{8}{15},\sec \theta =\frac{17}{15},\csc \theta =\frac{17}{8}$; $\cot \varphi =\frac{8}{15},\tan \varphi =\frac{15}{8},\csc \varphi =\frac{17}{15},\sec \varphi =\frac{17}{8},\cos \varphi =\frac{8}{17}$

س8(iii) — نسبتیں: $BC=5,AB=12,CA=13$

$\theta =\angle A$ اور $\varphi =\angle C$ کے لیے تمام دس نسبتیں معلوم کریں۔

1. وتر $CA=13$ (چیک: $5^2+12^2=13^2$ ✓)۔

Answer: $\sin \theta =\frac{5}{13},\cos \theta =\frac{12}{13},\tan \theta =\frac{5}{12},\sec \theta =\frac{13}{12},\csc \theta =\frac{13}{5}$; $\cot \varphi =\frac{5}{12},\tan \varphi =\frac{12}{5},\csc \varphi =\frac{13}{12},\sec \varphi =\frac{13}{5},\cos \varphi =\frac{5}{13}$

س9 — عمومی نسبتیں: قائمہ زاویہ $B$ پر، $a=BC,b=AC$(وتر)$,c=AB$

$\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ ($\theta =\angle C$) اور $\sin \varphi ,\cos \varphi ,\tan \varphi$ ($\varphi =\angle A$) معلوم کریں۔

1. $\theta =\angle C$ کے لیے: مقابل $=AB=c$، متصل $=BC=a$، وتر $=b$۔
2. $\varphi =\angle A$ کے لیے: مقابل $=BC=a$، متصل $=AB=c$، وتر $=b$۔

Answer: $\sin \theta =\frac{c}{b},\cos \theta =\frac{a}{b},\tan \theta =\frac{c}{a}$; $\sin \varphi =\frac{a}{b},\cos \varphi =\frac{c}{b},\tan \varphi =\frac{a}{c}$

س10(i) — ثابت کریں: $\sin \theta \csc \theta =1$

مثلث $ABC$: $AB=5$ (وتر)، $BC=3$، $AC=4$، قائمہ زاویہ $C$ پر، $\theta =\angle A$۔ ثابت کریں۔

1. $\sin \theta =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$، $\csc \theta =\frac{5}{3}$۔
2. $\sin \theta \csc \theta =\frac{3}{5}\times \frac{5}{3}=1$۔

Answer: ثابت: $1$

س10(ii) — ثابت کریں: $\cos \theta \sec \theta =1$

اسی مثلث سے ثابت کریں۔

1. $\cos \theta =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$، $\sec \theta =\frac{5}{4}$۔
2. $\cos \theta \sec \theta =\frac{4}{5}\times \frac{5}{4}=1$۔

Answer: ثابت: $1$

س10(iii) — ثابت کریں: $\tan \theta \cot \theta =1$

اسی مثلث سے ثابت کریں۔

1. $\tan \theta =\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$، $\cot \theta =\frac{4}{3}$۔
2. $\tan \theta \cot \theta =\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}=1$۔

Answer: ثابت: $1$

س11(i) — $\sin 30^{\circ }=\sin (90^{\circ }-60^{\circ })=$؟

ہم تفاعل شناخت سے خالی جگہ پر کریں۔

1. $\sin (90^{\circ }-60^{\circ })=\cos 60^{\circ }$۔

Answer: $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

س11(ii) — $\cos 30^{\circ }=\cos (90^{\circ }-60^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\cos (90^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }$۔

Answer: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

س11(iii) — $\tan 30^{\circ }=\tan (90^{\circ }-60^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\tan (90^{\circ }-60^{\circ })=\cot 60^{\circ }$۔

Answer: $\cot 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$

س11(iv) — $\tan 60^{\circ }=\tan (90^{\circ }-30^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\tan (90^{\circ }-30^{\circ })=\cot 30^{\circ }$۔

Answer: $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$

س11(v) — $\sin 60^{\circ }=\sin (90^{\circ }-30^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\sin (90^{\circ }-30^{\circ })=\cos 30^{\circ }$۔

Answer: $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

س11(vi) — $\cos 60^{\circ }=\cos (90^{\circ }-30^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\cos (90^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }$۔

Answer: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

س11(vii) — $\sin 45^{\circ }=\sin (90^{\circ }-45^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\sin (90^{\circ }-45^{\circ })=\cos 45^{\circ }$۔

Answer: $\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$

س11(viii) — $\tan 45^{\circ }=\tan (90^{\circ }-45^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\tan (90^{\circ }-45^{\circ })=\cot 45^{\circ }$۔

Answer: $\cot 45^{\circ }=1$

س11(ix) — $\cos 45^{\circ }=\cos (90^{\circ }-45^{\circ })=$؟

خالی جگہ پر کریں۔

1. $\cos (90^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }$۔

Answer: $\sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$

س12(i) — $\frac{BC}{AB}$ معلوم کریں ($\angle A=30^{\circ },\angle C=60^{\circ },\angle B=90^{\circ }$)

$\frac{m\overline{BC}}{m\overline{AB}}$ معلوم کریں۔

1. $BC$، $\angle A$ کے مقابل ہے، $AB$ متصل ہے، لہٰذا یہ نسبت $\tan A=\tan 30^{\circ }$ ہے۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

س12(ii) — $\cos 60^{\circ }$

$\cos 60^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. معیاری قیمت۔

Answer: $\frac{1}{2}$

س12(iii) — $\tan 60^{\circ }$

$\tan 60^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. معیاری قیمت۔

Answer: $\sqrt{3}$

س12(iv) — $\csc \frac{\pi }{3}$

$\csc \frac{\pi }{3}=\csc 60^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ کا معکوس۔

Answer: $\frac{2}{\sqrt{3}}$

س12(v) — $\cot 60^{\circ }$

$\cot 60^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ کا معکوس۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

س12(vi) — $\sin 30^{\circ }$

$\sin 30^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. معیاری قیمت۔

Answer: $\frac{1}{2}$

س12(vii) — $\cos 30^{\circ }$

$\cos 30^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. معیاری قیمت۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س12(viii) — $\tan \frac{\pi }{6}$

$\tan \frac{\pi }{6}=\tan 30^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. معیاری قیمت۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

س12(ix) — $\sec 30^{\circ }$

$\sec 30^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ کا معکوس۔

Answer: $\frac{2}{\sqrt{3}}$

س12(x) — $\cot 30^{\circ }$

$\cot 30^{\circ }$ معلوم کریں۔

1. $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ کا معکوس۔

Answer: $\sqrt{3}$

س13(i) — $\sin \theta =\frac{2}{3}$

$\theta$ کی باقی مثلثی نسبتیں معلوم کریں (کواڈرینٹ I)۔

1. مقابل $=2$، وتر $=3$، متصل $=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$۔

Answer: $\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3},\tan \theta =\frac{2}{\sqrt{5}},\csc \theta =\frac{3}{2},\sec \theta =\frac{3}{\sqrt{5}},\cot \theta =\frac{\sqrt{5}}{2}$

س13(ii) — $\cos \theta =\frac{3}{4}$

باقی مثلثی نسبتیں معلوم کریں۔

1. متصل $=3$، وتر $=4$، مقابل $=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$۔

Answer: $\sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{4},\tan \theta =\frac{\sqrt{7}}{3},\csc \theta =\frac{4}{\sqrt{7}},\sec \theta =\frac{4}{3},\cot \theta =\frac{3}{\sqrt{7}}$

س13(iii) — $\tan \theta =\frac{1}{2}$

باقی مثلثی نسبتیں معلوم کریں۔

1. مقابل $=1$، متصل $=2$، وتر $=\sqrt{5}$۔

Answer: $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}},\csc \theta =\sqrt{5},\sec \theta =\frac{\sqrt{5}}{2},\cot \theta =2$

س13(iv) — $\sec \theta =3$

باقی مثلثی نسبتیں معلوم کریں۔

1. $\cos \theta =\frac{1}{3}$؛ متصل $=1$، وتر $=3$، مقابل $=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$۔

Answer: $\sin \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3},\tan \theta =2\sqrt{2},\csc \theta =\frac{3\sqrt{2}}{4},\cot \theta =\frac{\sqrt{2}}{4}$

س13(v) — $\cot \theta =\sqrt{\frac{3}{2}}$

باقی مثلثی نسبتیں معلوم کریں۔

1. متصل$:$مقابل $=\sqrt{3}:\sqrt{2}$؛ وتر $=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$۔

Answer: $\sin \theta =\sqrt{\frac{2}{5}},\cos \theta =\sqrt{\frac{3}{5}},\tan \theta =\sqrt{\frac{2}{3}},\csc \theta =\sqrt{\frac{5}{2}},\sec \theta =\sqrt{\frac{5}{3}}$

س14(i) — $\sin 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. معیاری زاویہ قیمت۔

Answer: $\frac{1}{2}$

س14(ii) — $\cos 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. معیاری زاویہ قیمت۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س14(iii) — $\tan \frac{\pi }{6}$

قیمت معلوم کریں۔

1. $=\tan 30^{\circ }$۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

س14(iv) — $\tan 60^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. معیاری زاویہ قیمت۔

Answer: $\sqrt{3}$

س14(v) — $\sec 60^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ کا معکوس۔

Answer: $2$

س14(vi) — $\cos \frac{\pi }{3}$

قیمت معلوم کریں۔

1. $=\cos 60^{\circ }$۔

Answer: $\frac{1}{2}$

س14(vii) — $\cot 60^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ کا معکوس۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

س14(viii) — $\sin 60^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. معیاری زاویہ قیمت۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س14(ix) — $\sec 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ کا معکوس۔

Answer: $\frac{2}{\sqrt{3}}$

س14(x) — $\csc 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ کا معکوس۔

Answer: $2$

س14(xi) — $\sin 45^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. معیاری زاویہ قیمت۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{2}}$

س14(xii) — $\cos \frac{\pi }{4}$

قیمت معلوم کریں۔

1. $=\cos 45^{\circ }$۔

Answer: $\frac{1}{\sqrt{2}}$

س15(i) — قیمت: $2\sin 60^{\circ }\cos 60^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س15(ii) — قیمت: $2\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{6}$

قیمت معلوم کریں۔

1. $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س15(iii) — قیمت: $2\sin 45^{\circ }+2\cos 45^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{4}{\sqrt{2}}$۔

Answer: $2\sqrt{2}$

س15(iv) — قیمت: $\sin 60^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }\sin 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. یہ $\sin (60^{\circ }+30^{\circ })=\sin 90^{\circ }$ ہے۔

Answer: $1$

س15(v) — قیمت: $\cos 60^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 60^{\circ }\sin 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. یہ $\cos (60^{\circ }+30^{\circ })=\cos 90^{\circ }$ ہے۔

Answer: $0$

س15(vi) — قیمت: $\sin 60^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 60^{\circ }\sin 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. یہ $\sin (60^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }$ ہے۔

Answer: $\frac{1}{2}$

س15(vii) — قیمت: $\cos 60^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }\sin 30^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. یہ $\cos (60^{\circ }-30^{\circ })=\cos 30^{\circ }$ ہے۔

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

س15(viii) — قیمت: $\tan \frac{\pi }{6}\cot \frac{\pi }{6}+1$

قیمت معلوم کریں۔

1. $\tan \theta \cot \theta =1$ ہمیشہ، لہٰذا یہ $1+1$ ہے۔

Answer: $2$

س16(i) — قیمت: $2\sin 45^{\circ }-2\cos 45^{\circ }$

دیا ہے $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$، قیمت معلوم کریں۔

1. $2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$۔

Answer: $0$

س16(ii) — قیمت: $3\cos 45^{\circ }+4\sin 45^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{7}{\sqrt{2}}$۔

Answer: $\frac{7\sqrt{2}}{2}$

س16(iii) — قیمت: $5\cos 45^{\circ }-3\sin 45^{\circ }$

قیمت معلوم کریں۔

1. $5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}$۔

Answer: $\sqrt{2}$

س17(i) — $\angle B=90^{\circ },\angle A=30^{\circ },y=AB=4$: $x=BC,z=AC$ معلوم کریں

$x$ اور $z$ معلوم کریں۔

1. $\tan 30^{\circ }=\frac{x}{y}\Rightarrow x=4\times \frac{1}{\sqrt{3}}$۔
2. $\cos 30^{\circ }=\frac{y}{z}\Rightarrow z=\frac{4}{\sqrt{3}/2}=\frac{8}{\sqrt{3}}$۔

Answer: $x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ سینٹی میٹر؛ $z=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ سینٹی میٹر

س17(ii) — $\angle B=90^{\circ },\angle A=\frac{\pi }{4},y=BC=\sqrt{3}$: $x=AB,z=AC$ معلوم کریں

$x$ اور $z$ معلوم کریں۔

1. $\tan 45^{\circ }=\frac{y}{x}=1\Rightarrow x=y=\sqrt{3}$۔
2. $\sin 45^{\circ }=\frac{y}{z}\Rightarrow z=\sqrt{3}\times \sqrt{2}$۔

Answer: $x=\sqrt{3}$ سینٹی میٹر؛ $z=\sqrt{6}$ سینٹی میٹر

س17(iii) — $\angle B=90^{\circ },\angle C=60^{\circ },z=CA=2$(وتر): $x=CB,y=AB$ معلوم کریں

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. $\cos 60^{\circ }=\frac{x}{z}\Rightarrow x=2\times \frac{1}{2}$۔
2. $\sin 60^{\circ }=\frac{y}{z}\Rightarrow y=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}$۔

Answer: $x=1$ سینٹی میٹر؛ $y=\sqrt{3}$ سینٹی میٹر

س17(iv) — $\angle B=90^{\circ },\angle A=45^{\circ },y=AB=4$: $x=BC,z=AC$ معلوم کریں

$x$ اور $z$ معلوم کریں۔

1. $\tan 45^{\circ }=1\Rightarrow x=y=4$۔
2. $\cos 45^{\circ }=\frac{y}{z}\Rightarrow z=4\sqrt{2}$۔

Answer: $x=4$ سینٹی میٹر؛ $z=4\sqrt{2}$ سینٹی میٹر

س18(i) — $a=BC=\sqrt{5},c=AB=\sqrt{13}$: $b=AC$ اور زاویے معلوم کریں

وتر اور دونوں حادہ زاویے معلوم کریں۔

1. $b=\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{5+13}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$۔
2. $\tan A=\frac{a}{c}=\sqrt{\frac{5}{13}}\approx 0.620\Rightarrow A\approx 31.8^{\circ }$؛ $C=90^{\circ }-A\approx 58.2^{\circ }$۔

Answer: $b=3\sqrt{2}$ سینٹی میٹر؛ $A\approx 31.8^{\circ }$، $C\approx 58.2^{\circ }$

س18(ii) — $a=BC=4,c=AB=4$: $b=AC$ اور زاویے معلوم کریں

وتر اور دونوں حادہ زاویے معلوم کریں۔

1. $b=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$۔
2. چونکہ $a=c$، مثلث متساوی الساقین ہے: $A=C=45^{\circ }$۔

Answer: $b=4\sqrt{2}$ سینٹی میٹر؛ $A=C=45^{\circ }$

ع3 — $60$ میٹر مربع کھیت کا قطر

قطر کی لمبائی معلوم کریں۔

1. قطر $=$ ضلع$\times \sqrt{2}=60\sqrt{2}$۔

Answer: $60\sqrt{2}\approx 84.85$ میٹر

س19(i) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },\angle C=60^{\circ },c=3\sqrt{3}$

مثلث حل کریں۔

1. $\angle A=30^{\circ }$۔
2. $\tan C=\frac{c}{a}\Rightarrow a=\frac{c}{\tan 60^{\circ }}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3$۔
3. $b=\frac{c}{\sin C}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=6$۔

Answer: $a=3$ سینٹی میٹر، $b=6$ سینٹی میٹر، $\angle A=30^{\circ }$

س19(ii) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },\angle C=45^{\circ },a=8$

مثلث حل کریں۔

1. $\angle A=45^{\circ }$ (چونکہ $B=90°,C=45°$)، لہٰذا مثلث متساوی الساقین ہے: $c=a=8$۔
2. $b=a\sqrt{2}=8\sqrt{2}$۔

Answer: $c=8$ سینٹی میٹر، $b=8\sqrt{2}$ سینٹی میٹر، $\angle A=45^{\circ }$

س19(iii) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },a=12,c=6$

مثلث حل کریں۔

1. $b=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$۔
2. $\tan A=\frac{a}{c}=2\Rightarrow A\approx 63.43^{\circ }$؛ $C\approx 26.57^{\circ }$۔

Answer: $b=6\sqrt{5}$ سینٹی میٹر؛ $A\approx 63.43^{\circ }$، $C\approx 26.57^{\circ }$

س19(iv) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },\angle A=60^{\circ },c=4$

مثلث حل کریں۔

1. $\angle C=30^{\circ }$۔
2. $a=c\tan 60^{\circ }=4\sqrt{3}$؛ $b=\frac{c}{\cos 60^{\circ }}=8$۔

Answer: $a=4\sqrt{3}$ سینٹی میٹر، $b=8$ سینٹی میٹر، $\angle C=30^{\circ }$

س19(v) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },\angle A=30^{\circ },c=4$

مثلث حل کریں۔

1. $\angle C=60^{\circ }$۔
2. $a=c\tan 30^{\circ }=\frac{4}{\sqrt{3}}$؛ $b=\frac{c}{\cos 30^{\circ }}=\frac{8}{\sqrt{3}}$۔

Answer: $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ سینٹی میٹر، $b=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ سینٹی میٹر، $\angle C=60^{\circ }$

س19(vi) — حل کریں: $\angle B=90^{\circ },b=10,a=6$

مثلث حل کریں۔

1. $c=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$۔
2. $\sin A=\frac{a}{b}=0.6\Rightarrow A\approx 36.87^{\circ }$؛ $C\approx 53.13^{\circ }$۔

Answer: $c=8$ سینٹی میٹر؛ $A\approx 36.87^{\circ }$، $C\approx 53.13^{\circ }$

ع4 — نہر کی چوڑائی اور زاویہ $PQR$

$PQ=13$ میٹر (وتر)، $QR=5$ میٹر، قائمہ زاویہ $R$ پر۔ نہر کی چوڑائی اور $\angle PQR$ ریڈین میں معلوم کریں۔

1. چوڑائی $PR=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ میٹر۔
2. $\tan (\angle PQR)=\frac{PR}{QR}=\frac{12}{5}=2.4\Rightarrow \angle PQR\approx 67.38^{\circ }$۔
3. ریڈین میں: $67.38\times \frac{\pi }{180}\approx 1.176$۔

Answer: چوڑائی $=12$ میٹر؛ $\angle PQR\approx 1.176$ ریڈین ($\approx 67.4^{\circ }$)

س20 — چوکور $ABCD$ میں لمبائی $x$

قائمہ زاویے $B,C$ پر؛ $AB=10$، $CD=8$، $AD=17$، $BC=x$۔ $x$ معلوم کریں۔

1. عمود گرائیں تاکہ $AB$ اور $CD$ متوازی ہوں؛ ان کی لمبائیوں کا فرق ($10-8=2$) اور $BC=x$ ایک قائمہ زاویہ مثلث کی اضلاع بنتے ہیں جس کا وتر $AD=17$ ہے۔
2. $x^2+2^2=17^2\Rightarrow x^2=289-4=285$۔

Answer: $x=\sqrt{285}\approx 16.88$ سینٹی میٹر

ع5 — دیوار سے ٹکی سیڑھی

سیڑھی $=8$ میٹر، پاؤں دیوار سے $2$ میٹر دور۔ پہنچی ہوئی اونچائی معلوم کریں۔

1. اونچائی $=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$۔

Answer: $2\sqrt{15}\approx 7.75$ میٹر

ع6 — مستطیل کھیت کا قطر

قطر $=(x+9)$ میٹر، اضلاع $(x+7)$ میٹر اور $x$ میٹر۔ $x$ معلوم کریں۔

1. $x^2+(x+7{)}^2=(x+9{)}^2$۔
2. $x^2+x^2+14x+49=x^2+18x+81\Rightarrow x^2-4x-32=0$۔
3. $(x-8)(x+4)=0\Rightarrow x=8$ (منفی جڑ مسترد)۔

Answer: $x=8$

س21(i) — $x$ معلوم کریں: قائمہ زاویہ $B$ پر، $AB=12$، $AC=20$(وتر)

$x=BC$ معلوم کریں۔

1. $x=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}$۔

Answer: $x=16$ سینٹی میٹر

س21(ii) — $x$ معلوم کریں: متساوی الساقین مثلث میں عمود کا پاؤں $B$

$D$ چوٹی پر، $B$ عمود کا پاؤں جہاں $AB=BC=4$؛ $AD=x$، $DC=5$۔ $x$ معلوم کریں۔

1. قائمہ زاویہ مثلث $DBC$ میں: $DB=\sqrt{D{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{25-16}=3$۔
2. قائمہ زاویہ مثلث $DBA$ میں: $x=DA=\sqrt{D{B}^2+A{B}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$۔

Answer: $x=5$ سینٹی میٹر

ع7 — جھنڈے کے کھمبے کی اونچائی

ارتفاع کا زاویہ $=60^{\circ }$، $40$ میٹر دور سے۔ اونچائی معلوم کریں۔

1. اونچائی $=40\tan 60^{\circ }=40\sqrt{3}$۔

Answer: $40\sqrt{3}\approx 69.28$ میٹر

ع8 — متساوی الساقین مثلث کا عمود

چوٹی کا زاویہ $=120^{\circ }$، بنیاد $=10$ سینٹی میٹر۔ عمود معلوم کریں۔

1. عمود مثلث کو دو قائمہ زاویہ مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے جن کا بنیادی زاویہ $30^{\circ }$ اور آدھی بنیاد $5$ سینٹی میٹر ہے۔
2. $\tan 30^{\circ }=\frac{h}{5}\Rightarrow h=5\tan 30^{\circ }=\frac{5}{\sqrt{3}}$۔

Answer: $h=\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx 2.89$ سینٹی میٹر

ع9 — درخت کے ارتفاع کا زاویہ

درخت $=72$ میٹر، فاصلہ $=100$ میٹر۔ ارتفاع کا زاویہ معلوم کریں۔

1. $\theta =\arctan \left(\frac{72}{100}\right)=\arctan (0.72)$۔

Answer: $\theta \approx 35.75^{\circ }\approx 35^{\circ }45^{\prime }$

ع10 — دیوار کی اونچائی سے سیڑھی کی لمبائی

سیڑھی کا زاویہ $=60^{\circ }$، دیوار پر $10$ میٹر تک پہنچتی ہے۔ سیڑھی کی لمبائی معلوم کریں۔

1. $\sin 60^{\circ }=\frac{10}{L}\Rightarrow L=\frac{10}{\sqrt{3}/2}=\frac{20}{\sqrt{3}}$۔

Answer: $L=\frac{20\sqrt{3}}{3}\approx 11.55$ میٹر

ع11 — بحری جہاز کا لائٹ ہاؤس سے فاصلہ

لائٹ ہاؤس $=150$ میٹر، جہاز تک انخفاض کا زاویہ $=60^{\circ }$۔ فاصلہ معلوم کریں۔