9th Class Math Chapter 5 Notes

س1(i) — حل کریں: $12x+30=-6$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $12x=-36$۔

Answer: $x=-3$ (عدد لائن پر $-3$ کا ایک نقطہ)

س1(ii) — حل کریں: $\frac{x}{3}+6=-12$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $\frac{x}{3}=-18$۔

Answer: $x=-54$

س1(iii) — حل کریں: $\frac{x}{2}-\frac{3x}{4}=\frac{1}{12}$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $12$ سے ضرب دیں: $6x-9x=1\Rightarrow -3x=1$۔

Answer: $x=-\frac{1}{3}$

س1(iv) — حل کریں: $2=7(2x+4)+12x$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $2=14x+28+12x=26x+28$۔
2. $-26=26x$۔

Answer: $x=-1$

س1(v) — حل کریں: $\frac{2x-1}{3}-\frac{3x}{4}=\frac{5}{6}$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $12$ سے ضرب دیں: $4(2x-1)-9x=10\Rightarrow 8x-4-9x=10\Rightarrow -x=14$۔

Answer: $x=-14$

س1(vi) — حل کریں: $\frac{-5x}{10}=9-\frac{10x}{5}$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. سادہ کریں: $-\frac{x}{2}=9-2x$۔
2. $2$ سے ضرب: $-x=18-4x\Rightarrow 3x=18$۔

Answer: $x=6$

س2(i) — حل کریں: $\frac{x+5}{3}=1-x$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $x+5=3(1-x)=3-3x\Rightarrow 4x=-2$۔

Answer: $x=-\frac{1}{2}$

س2(ii) — حل کریں: $\frac{2x+1}{3}+\frac{1}{2}=1-\frac{x-1}{3}$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $6$ سے ضرب دیں: $2(2x+1)+3=6-2(x-1)$۔
2. $4x+2+3=6-2x+2\Rightarrow 4x+5=8-2x\Rightarrow 6x=3$۔

Answer: $x=\frac{1}{2}$

س3(i) — حل کریں: $x-6\le -2$

ہر عدم مساوات حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. دونوں اطراف $6$ جمع کریں۔

Answer: $x\le 4$ (عدد لائن پر $4$ پر بند شعاع، بائیں طرف)

س3(ii) — حل کریں: $-9>-16+x$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $16$ جمع کریں: $7>x$، یعنی $x<7$۔

Answer: $x<7$ (کھلی شعاع $7$ سے بائیں طرف)

س3(iii) — حل کریں: $3+2x\ge 3$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $2x\ge 0$۔

Answer: $x\ge 0$ (بند شعاع $0$ سے دائیں طرف)

س3(iv) — حل کریں: $6(x+10)\le 0$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $6$ سے تقسیم: $x+10\le 0$۔

Answer: $x\le -10$

س3(v) — حل کریں: $\frac{5}{3}x-\frac{3}{4}<\frac{-1}{12}$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $12$ سے ضرب: $20x-9<-1\Rightarrow 20x<8$۔

Answer: $x<\frac{2}{5}$

س3(vi) — حل کریں: $\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\le -1+\frac{1}{2}x$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $4$ سے ضرب: $x-2\le -4+2x\Rightarrow -x\le -2$۔
2. $-1$ سے تقسیم (نشان بدلے گا): $x\ge 2$۔

Answer: $x\ge 2$

س4(i) — حل کریں: $3x+7<16$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $3x<9$۔

Answer: $x<3$

س4(ii) — حل کریں: $5(x-3)\ge 26x-(10x+4)$

حل کریں اور حقیقی لائن پر ظاہر کریں۔

1. $5x-15\ge 26x-10x-4=16x-4$۔
2. $5x-16x\ge -4+15\Rightarrow -11x\ge 11$۔
3. $-11$ سے تقسیم (نشان بدلے گا): $x\le -1$۔

Answer: $x\le -1$

س5(i) — خاکہ: $2x+y\le 6$

$xy$-جہاز میں حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. حد کی لکیر $2x+y=6$ ($(3,0)$ اور $(0,6)$ سے گزرتی)، ٹھوس (چونکہ $\le$)۔
2. $(0,0)$ چیک: $0\le 6$ درست — مرکز والی طرف رنگ کریں۔

Answer: ٹھوس لکیر $(3,0)$، $(0,6)$ سے؛ مرکز کی طرف رنگ کریں

س5(ii) — خاکہ: $3x+7y\ge 21$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. حد $3x+7y=21$ ($(7,0)$، $(0,3)$)، ٹھوس لکیر۔
2. $(0,0)$ چیک: $0\ge 21$ غلط — مرکز سے دور طرف رنگ کریں۔

Answer: ٹھوس لکیر $(7,0)$، $(0,3)$ سے؛ مرکز سے دور رنگ کریں

س5(iii) — خاکہ: $3x-2y\ge 6$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. حد $3x-2y=6$ ($(2,0)$، $(0,-3)$)، ٹھوس لکیر۔
2. $(0,0)$ چیک: $0\ge 6$ غلط — مرکز سے دور رنگ کریں۔

Answer: ٹھوس لکیر $(2,0)$، $(0,-3)$ سے؛ مرکز سے دور رنگ کریں

س5(iv) — خاکہ: $5x-4y\le 20$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. حد $5x-4y=20$ ($(4,0)$، $(0,-5)$)، ٹھوس لکیر۔
2. $(0,0)$ چیک: $0\le 20$ درست — مرکز کی طرف رنگ کریں۔

Answer: ٹھوس لکیر $(4,0)$، $(0,-5)$ سے؛ مرکز کی طرف رنگ کریں

س5(v) — خاکہ: $2x+1\ge 0$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. سادہ ہو کر $x\ge -\frac{1}{2}$: ایک عمودی حد کی لکیر۔

Answer: عمودی ٹھوس لکیر $x=-\frac{1}{2}$؛ دائیں طرف سب کچھ رنگ کریں

س5(vi) — خاکہ: $3y-4\le 0$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. سادہ ہو کر $y\le \frac{4}{3}$: ایک افقی حد کی لکیر۔

Answer: افقی ٹھوس لکیر $y=\frac{4}{3}$؛ نیچے سب کچھ رنگ کریں

س5(vii) — خاکہ: $2x-3y\le 6$

حل کا علاقہ رنگ کریں۔

1. حد $2x-3y=6$ ($(3,0)$، $(0,-2)$)، ٹھوس لکیر۔
2. $(0,0)$ چیک: $0\le 6$ درست — مرکز کی طرف رنگ کریں۔

Answer: ٹھوس لکیر $(3,0)$، $(0,-2)$ سے؛ مرکز کی طرف رنگ کریں

س6(i) — خاکہ: $x+y\ge 5,x-y\le 1$

رنگ کر کے حل کا علاقہ ظاہر کریں۔

1. لکیر $x+y=5$ ($(5,0)$،$(0,5)$): مرکز چیک ناکام، مرکز سے دور رنگ کریں۔
2. لکیر $x-y=1$ ($(1,0)$،$(0,-1)$): مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
3. حد کی لکیریں $(3,2)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: دونوں رنگے علاقوں کا اشتراک، $(3,2)$ پر ملاپ

س6(ii) — خاکہ: $3x+7y\ge 21,x-y\le 2$

رنگ کر کے حل کا علاقہ ظاہر کریں۔

1. لکیر $3x+7y=21$: مرکز سے دور رنگ کریں۔
2. لکیر $x-y=2$: مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
3. لکیریں $(3.5,1.5)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، $(3.5,1.5)$ پر ملاپ

س6(iii) — خاکہ: $4x-3y\le 12,x\ge -\frac{3}{2}$

رنگ کر کے حل کا علاقہ ظاہر کریں۔

1. لکیر $4x-3y=12$: مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
2. عمودی لکیر $x=-\frac{3}{2}$: دائیں طرف رنگ کریں۔
3. لکیریں $\left(-\frac{3}{2},-6\right)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، $\left(-\frac{3}{2},-6\right)$ پر ملاپ

س6(iv) — خاکہ: $3x+7y\ge 21,y\le 4$

رنگ کر کے حل کا علاقہ ظاہر کریں۔

1. لکیر $3x+7y=21$: مرکز سے دور رنگ کریں۔
2. افقی لکیر $y=4$: نیچے رنگ کریں۔
3. لکیریں $\left(-\frac{7}{3},4\right)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، $\left(-\frac{7}{3},4\right)$ پر ملاپ

س6(v) — خاکہ: $5x+7y\le 35,x-2y\le 2$

رنگ کر کے حل کا علاقہ ظاہر کریں۔

1. لکیر $5x+7y=35$: مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
2. لکیر $x-2y=2$: مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
3. لکیریں $\left(\frac{84}{17},\frac{25}{17}\right)\approx (4.94,1.47)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، تقریباً $(4.94,1.47)$ پر ملاپ

س6(vi) — حل کا علاقہ: $3x-4y\le 12,3x+2y\ge 3$

حل کا علاقہ معلوم کریں۔

1. لکیر $3x-4y=12$: مرکز چیک درست، مرکز کی طرف رنگ کریں۔
2. لکیر $3x+2y=3$: مرکز چیک ناکام، مرکز سے دور رنگ کریں۔
3. لکیریں $(2,-1.5)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، $(2,-1.5)$ پر ملاپ

س6(vii) — حل کا علاقہ: $2x+y\le 4,x+2y\le 6$

حل کا علاقہ معلوم کریں۔

1. دونوں لکیریں: مرکز چیک دونوں کے لیے درست، دونوں کی مرکز والی طرف رنگ کریں۔
2. لکیریں $\left(\frac{2}{3},\frac{8}{3}\right)$ پر ملتی ہیں۔

Answer: اشتراکی علاقہ، $\left(\frac{2}{3},\frac{8}{3}\right)$ پر ملاپ

س7(i) — $2y-x\le 8,x-y\le 4,x,y\ge 0$ کے تابع $f=2x+5y$ زیادہ سے زیادہ کریں

$f(x,y)=2x+5y$ زیادہ سے زیادہ کریں۔

1. حل کے علاقے کے کونے: $(0,0)$، $(4,0)$ [جہاں $x-y=4$، $y=0$ سے ملتا ہے]، $(0,4)$ [جہاں $2y-x=8$، $x=0$ سے ملتا ہے]، اور دونوں لکیروں کا ملاپ $(16,12)$۔
2. $f$ کی قیمت: $(0,0)\to 0$؛ $(4,0)\to 8$؛ $(16,12)\to 32+60=92$؛ $(0,4)\to 20$۔

Answer: زیادہ سے زیادہ $f=92$ بمقام $(16,12)$

س7(ii) — $2x+5y\le 30,5x+4y\le 20,x,y\ge 0$ کے تابع $f=x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں

$f(x,y)=x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں۔

1. دونوں شرائط کا ہر محور پر جائزہ دکھاتا ہے کہ $5x+4y\le 20$ ہر جگہ پابند ہے — علاقہ صرف مثلث $(0,0),(4,0),(0,5)$ ہے۔
2. $f$ کی قیمت: $(0,0)\to 0$؛ $(4,0)\to 4$؛ $(0,5)\to 15$۔

Answer: زیادہ سے زیادہ $f=15$ بمقام $(0,5)$

س7(iii) — $2x+y\le 4,4x-y\le 2,x,y\ge 0$ کے تابع $z=2x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں

$z=2x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں۔

1. کونے: $(0,0)$، $(0.5,0)$ [جہاں $4x-y=2$، $y=0$ سے ملتا ہے]، $(1,2)$ [دونوں لکیروں کا ملاپ]، $(0,4)$ [جہاں $2x+y=4$، $x=0$ سے ملتا ہے]۔
2. $z$ کی قیمت: $(0,0)\to 0$؛ $(0.5,0)\to 1$؛ $(1,2)\to 8$؛ $(0,4)\to 12$۔

Answer: زیادہ سے زیادہ $z=12$ بمقام $(0,4)$

س7(iv) — $x+y\ge 3,7x+5y\le 35,x,y\ge 0$ کے تابع $z=2x+y$ کم سے کم کریں

$z=2x+y$ کم سے کم کریں۔

1. کونے: $(3,0)$، $(5,0)$، $(0,7)$، $(0,3)$ (دونوں لکیریں پہلے کواڈرینٹ میں نہیں ملتیں)۔
2. $z$ کی قیمت: $(3,0)\to 6$؛ $(5,0)\to 10$؛ $(0,7)\to 7$؛ $(0,3)\to 3$۔

Answer: کم سے کم $z=3$ بمقام $(0,3)$

س7(v) — $2x+y\le 10,x+2y\le 14,x,y\ge 0$ کے تابع $f=2x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں

$f(x,y)=2x+3y$ زیادہ سے زیادہ کریں۔

1. کونے: $(0,0)$، $(5,0)$، $(2,6)$ [ملاپ]، $(0,7)$۔
2. $f$ کی قیمت: $(0,0)\to 0$؛ $(5,0)\to 10$؛ $(2,6)\to 22$؛ $(0,7)\to 21$۔

Answer: زیادہ سے زیادہ $f=22$ بمقام $(2,6)$

س7(vi) — $3x+5y\ge 15,x+3y\le 9,x,y\ge 0$ کے تابع $z=3x+y$ کی کم/زیادہ قیمت

$z=3x+y$ کی کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ دونوں قیمتیں معلوم کریں۔

1. دونوں حد کی لکیریں بالکل $(0,3)$ پر ملتی ہیں؛ باقی کونے $(5,0)$ [جہاں $3x+5y=15$، $y=0$ سے ملتا ہے] اور $(9,0)$ [جہاں $x+3y=9$، $y=0$ سے ملتا ہے]۔
2. $z$ کی قیمت: $(0,3)\to 3$؛ $(5,0)\to 15$؛ $(9,0)\to 27$۔

Answer: کم سے کم $z=3$ بمقام $(0,3)$؛ زیادہ سے زیادہ $z=27$ بمقام $(9,0)$

س7(vii) — $x+y\le 4,x,y\ge 0$ کے تابع $g=x+4y$ زیادہ سے زیادہ کریں

$g(x,y)=x+4y$ کی زیادہ سے زیادہ قیمت معلوم کریں۔

1. اس سادہ مثلث کے کونے: $(0,0)$، $(4,0)$، $(0,4)$۔
2. $g$ کی قیمت: $(0,0)\to 0$؛ $(4,0)\to 4$؛ $(0,4)\to 16$۔

Answer: زیادہ سے زیادہ $g=16$ بمقام $(0,4)$

س7(viii) — $x+3y\ge 3,x+y\ge 2,x,y\ge 0$ کے تابع $f=3x+5y$ کم سے کم کریں

$f(x,y)=3x+5y$ کی کم سے کم قیمت معلوم کریں۔

1. کونے: $(0,2)$ [جہاں $x+y=2$، $x=0$ سے ملتا ہے]، لکیروں کا ملاپ $(1.5,0.5)$، اور $(3,0)$ [جہاں $x+3y=3$، $y=0$ سے ملتا ہے]۔
2. $f$ کی قیمت: $(0,2)\to 10$؛ $(1.5,0.5)\to 4.5+2.5=7$؛ $(3,0)\to 9$۔

Answer: کم سے کم $f=7$ بمقام $(1.5,0.5)$