9th Class Math Chapter 3 Notes

س1(i) — سیٹ ساز: $\{1,4,9,16,25,36,\dots ,484\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. ہر عدد ایک مربع ہے: $1^2,2^2,\dots ,22^2$ (چونکہ $22^2=484$)۔

Answer: $\{x\mid x=n^2,n\in N\wedge 1\le n\le 22\}$

س1(ii) — سیٹ ساز: $\{2,4,8,16,\dots ,256\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $2$ کی توانیاں: $2^1,\dots ,2^8$۔

Answer: $\{x\mid x=2^n,n\in N\wedge 1\le n\le 8\}$

س1(iii) — سیٹ ساز: $\{0,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm 1000\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $-1000$ سے $1000$ تک تمام صحیح اعداد۔

Answer: $\{x\mid x\in Z\wedge -1000\le x\le 1000\}$

س1(iv) — سیٹ ساز: $\{6,12,18,\dots ,120\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $6$ کے مضاعف: $6(1),\dots ,6(20)$۔

Answer: $\{x\mid x=6n,n\in N\wedge 1\le n\le 20\}$

س1(v) — سیٹ ساز: $\{100,102,\dots ,400\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $100$ سے $400$ تک جفت اعداد۔

Answer: $\{x\mid x\in E\wedge 100\le x\le 400\}$ ($E$ = جفت اعداد)

س1(vi) — سیٹ ساز: $\{1,3,9,27,81,\dots \}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $3$ کی توانیاں $3^0$ سے شروع، لامحدود جاری۔

Answer: $\{x\mid x=3^n,n\in W\}$

س1(vii) — سیٹ ساز: $\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. ہر عدد $100$ کو بالکل تقسیم کرتا ہے۔

Answer: $\{x\mid x$ کا $100$ پر مقسوم علیہ ہے$\}$

س1(viii) — سیٹ ساز: $\{5,10,15,\dots ,100\}$

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. $5$ کے مضاعف: $5(1),\dots ,5(20)$۔

Answer: $\{x\mid x=5n,n\in N\wedge 1\le n\le 20\}$

س1(ix) — سیٹ ساز: $-100$ اور $1000$ کے درمیان صحیح اعداد

ترقیم سیٹ ساز میں لکھیں۔

1. "درمیان" سے مراد سختی سے درمیان (خارجی حدود)۔

Answer: $\{x\mid x\in Z\wedge -100<x<1000\}$

س2(i) — اندراجی: $\{x\mid x$ کا $3$ ضعف $\wedge x\le 36\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $3$ کے مضاعف $3$ سے $36$ تک۔

Answer: $\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36\}$

س2(ii) — اندراجی: $\{x\mid x\in R\wedge 2x+1=0\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$؛ یہ ایک حقیقی عدد ہے۔

Answer: $\left\{-\frac{1}{2}\right\}$

س2(iii) — اندراجی: $\{x\mid x\in P\wedge x<12\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں ($P$ = مفرد اعداد)۔

1. $12$ سے کم مفرد اعداد: $2,3,5,7,11$۔

Answer: $\{2,3,5,7,11\}$

س2(iv) — اندراجی: $\{x\mid x$ کا $128$ پر مقسوم علیہ ہے$\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $128=2^7$؛ اس کے تمام مقسوم علیہ $2$ کی توانیاں ہیں۔

Answer: $\{1,2,4,8,16,32,64,128\}$

س2(v) — اندراجی: $\{x\mid x=2^n,n\in N\wedge n<8\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $n=1,\dots ,7$۔

Answer: $\{2,4,8,16,32,64,128\}$

س2(vi) — اندراجی: $\{x\mid x\in N\wedge x+4=0\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $x=-4$ جو فطری عدد نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س2(vii) — اندراجی: $\{x\mid x\in N\wedge x=x\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. شرط $x=x$ ہر فطری عدد کے لیے درست ہے۔

Answer: $\{1,2,3,4,\dots \}=N$

س2(viii) — اندراجی: $\{x\mid x\in Z\wedge 3x+1=0\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $x=-\frac{1}{3}$ جو صحیح عدد نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س3(i) — $\{a,b,c\}$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. واجب تحقی سیٹ میں کچھ، مگر تمام نہیں، ارکان ہوتے ہیں۔

Answer: $\{a\}$ اور $\{b,c\}$ (مثال کے طور پر)

س3(ii) — $\{0,1\}$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. $\{0,1\}$ کے علاوہ کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $\{0\}$ اور $\{\}$

س3(iii) — $N$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. $N$ میں سختی سے شامل کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $\{1,2\}$ اور جفت فطری اعداد کا سیٹ $\{2,4,6,\dots \}$

س3(iv) — $Z$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. $Z$ میں سختی سے شامل کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $N$ اور $\{0\}$

س3(v) — $Q$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. $Q$ میں سختی سے شامل کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $Z$ اور $N$

س3(vi) — $R$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. $R$ میں سختی سے شامل کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $Q$ اور $Z$

س3(vii) — $\{x\mid x\in Q\wedge 0<x\le 2\}$ کے دو واجب تحقی سیٹ

دو واجب تحقی سیٹ لکھیں۔

1. دیے گئے سیٹ میں سختی سے شامل کوئی بھی سیٹ۔

Answer: $\{1\}$ اور $\{x\mid x\in Q\wedge 0<x\le 1\}$

س4(i) — $P(\{\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. $n(S)=0\Rightarrow 2^0$۔

Answer: $1$

س4(ii) — $P(\{0,1\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. $n(S)=2\Rightarrow 2^2$۔

Answer: $4$

س4(iii) — $P(\{1,\dots ,7\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. $n(S)=7\Rightarrow 2^7$۔

Answer: $128$

س4(iv) — $P(\{0,1,\dots ,7\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. $n(S)=8\Rightarrow 2^8$۔

Answer: $256$

س4(v) — $P(\{a,\{b,c\}\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. اس سیٹ کے $2$ ارکان ہیں ($a$ اور $\{b,c\}$) $\Rightarrow 2^2$۔

Answer: $4$

س4(vi) — $P(\{\{a,b\},\{b,c\},\{d,e\}\})$ کے ارکان کی تعداد

پاور سیٹ کے ارکان کی تعداد معلوم کریں۔

1. اس سیٹ کے $3$ ارکان ہیں (ہر رکن خود ایک سیٹ ہے) $\Rightarrow 2^3$۔

Answer: $8$

س5(i) — $\{9,11\}$ کا پاور سیٹ

پاور سیٹ لکھیں۔

1. $\varnothing$ اور خود سیٹ سمیت ہر ذیلی سیٹ لکھیں۔

Answer: $P(S)=\{\varnothing ,\{9\},\{11\},\{9,11\}\}$

س5(ii) — $\{+,-,\times ,÷\}$ کا پاور سیٹ

پاور سیٹ لکھیں۔

1. $4$ ارکان سے $2^4=16$ ذیلی سیٹ بنتے ہیں۔

Answer: $P(S)=\{\varnothing ,\{+\},\{-\},\{\times \},\{÷\},\{+,-\},\{+,\times \},\{+,÷\},\{-,\times \},\{-,÷\},\{\times ,÷\},\{+,-,\times \},\{+,-,÷\},\{+,\times ,÷\},\{-,\times ,÷\},\{+,-,\times ,÷\}\}$

س5(iii) — $\{\varnothing \}$ کا پاور سیٹ

پاور سیٹ لکھیں۔

1. اس سیٹ کا ایک ہی رکن ہے، یعنی $\varnothing$ خود۔

Answer: $P(S)=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$

س5(iv) — $\{a,\{b,c\}\}$ کا پاور سیٹ

پاور سیٹ لکھیں۔

1. دو ارکان: $a$ اور $\{b,c\}$۔

Answer: $P(S)=\{\varnothing ,\{a\},\{\{b,c\}\},\{a,\{b,c\}\}\}$

س6(i) — $A$ اور $B$ کی فہرست (6 اور 8 کے مضاعف)

$U=\{x\mid x$ کا $2$ ضعف $\wedge 0<x\le 30\}$، $A=\{x\mid x$ کا $6$ ضعف$\}$، $B=\{x\mid x$ کا $8$ ضعف$\}$ ($U$ کے اندر)۔ $A$ اور $B$ کی فہرست بنائیں۔

1. $30$ تک $6$ کے مضاعف: $6,12,18,24,30$۔
2. $30$ تک $8$ کے مضاعف: $8,16,24$۔

Answer: $A=\{6,12,18,24,30\}$, $B=\{8,16,24\}$

س6(ii) — $A\cap B$ معلوم کریں

$A\cap B$ معلوم کریں۔

1. $\{6,12,18,24,30\}$ اور $\{8,16,24\}$ کا مشترک رکن۔

Answer: $A\cap B=\{24\}$

س6(iii) — $U,A,B$ کے لیے وین اشکال

مذکورہ سیٹوں کے لیے وین اشکال بنائیں۔

1. مستطیل $U=\{2,4,\dots ,30\}$؛ دائرہ $A$ میں $6,12,18,30$ (غیر مشترک) اور اشتراک میں $24$؛ دائرہ $B$ میں $8,16$ اور اشتراک میں $24$؛ دونوں دائروں سے باہر مگر $U$ میں: $2,4,10,14,20,22,26,28$۔

Answer: اشتراک $=\{24\}$؛ صرف $A$ میں $=\{6,12,18,30\}$؛ صرف $B$ میں $=\{8,16\}$

س7(i) — $G$ اور $H$ کی فہرست

$U=\{x\mid x\in Z\wedge 0<x\le 150\}$، $G=\{x\mid x=2^m\}$، $H=\{x\mid x$ ایک مربع ہے$\}$ ($U$ کے اندر)۔ $G$ اور $H$ کی فہرست بنائیں۔

1. $150$ تک $2$ کی توانیاں: $2,4,8,16,32,64,128$۔
2. $150$ تک مربع اعداد: $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144$۔

Answer: $G=\{2,4,8,16,32,64,128\}$, $H=\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144\}$

س7(ii) — $G\cup H$ معلوم کریں

$G\cup H$ معلوم کریں۔

1. دونوں فہرستوں کو ملائیں، مشترک ارکان ($4,16,64$) کو ایک بار شمار کریں۔

Answer: $\{1,2,4,8,9,16,25,32,36,49,64,81,100,121,128,144\}$

س7(iii) — $G\cap H$ معلوم کریں

$G\cap H$ معلوم کریں۔

1. دونوں فہرستوں کے مشترک ارکان: $4,16,64$۔

Answer: $G\cap H=\{4,16,64\}$

س8(i) — $P\cap Q$ معلوم کریں

$P=\{x\mid x$ مفرد $\wedge 0<x\le 20\}$، $Q=\{x\mid x$ کا $210$ پر مقسوم علیہ $\wedge 0<x\le 20\}$۔ $P\cap Q$ معلوم کریں۔

1. $P=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$۔
2. $210=2\times 3\times 5\times 7$؛ $20$ تک مقسوم علیہ: $Q=\{1,2,3,5,6,7,10,14,15\}$۔
3. مشترک ارکان: $2,3,5,7$۔

Answer: $P\cap Q=\{2,3,5,7\}$

س8(ii) — $P\cup Q$ معلوم کریں

$P\cup Q$ معلوم کریں۔

1. $P$ اور $Q$ کو ملائیں، مشترک ارکان ایک بار شمار کریں۔

Answer: $\{1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19\}$

س9(i) — $A=\{1,2,3,4,5\}$، $B=\{4,6,8,10\}$ کے لیے خاصیت مبادلہ ثابت کریں

$A\cup B=B\cup A$ اور $A\cap B=B\cap A$ ثابت کریں۔

1. $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$ اور $B\cup A$ سے بھی یہی سیٹ ملتا ہے۔
2. $A\cap B=\{4\}$ اور $B\cap A=\{4\}$ — بھی یکساں۔

Answer: دونوں خاصیتیں درست ہیں: یونین $=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$؛ تقاطع $=\{4\}$

س9(ii) — $N,Z$ کے لیے خاصیت مبادلہ ثابت کریں

$N\cup Z=Z\cup N$ اور $N\cap Z=Z\cap N$ ثابت کریں۔

1. چونکہ $N\subset Z$: $N\cup Z=Z$ (کسی بھی ترتیب میں)؛ $N\cap Z=N$ (کسی بھی ترتیب میں)۔

Answer: دونوں خاصیتیں درست ہیں: یونین $=Z$، تقاطع $=N$

س9(iii) — $A=\{x\mid x\in R\wedge x\ge 0\}$، $B=R$ کے لیے خاصیت مبادلہ ثابت کریں

$A\cup B=B\cup A$ اور $A\cap B=B\cap A$ ثابت کریں۔

1. چونکہ $A\subset R$: $A\cup R=R$؛ $A\cap R=A$، دونوں ترتیب میں۔

Answer: دونوں خاصیتیں درست ہیں: یونین $=R$، تقاطع $=A$

س10 — ڈی مورگن کے قوانین ثابت کریں

$U=\{a,\dots ,j\}$، $A=\{a,b,c,d,g,h\}$، $B=\{c,d,e,f,j\}$۔ ڈی مورگن کے قوانین ثابت کریں اور وین اشکال بنائیں۔

1. $A^{\prime }=U-A=\{e,f,i,j\}$، $B^{\prime }=U-B=\{a,b,g,h,i\}$۔
2. $A\cup B=\{a,b,c,d,e,f,g,h,j\}$، لہٰذا $(A\cup B{)}^{\prime }=\{i\}$؛ اور $A^{\prime }\cap B^{\prime }=\{i\}$ — مطابقت رکھتا ہے۔
3. $A\cap B=\{c,d\}$، لہٰذا $(A\cap B{)}^{\prime }=\{a,b,e,f,g,h,i,j\}$؛ اور $A^{\prime }\cup B^{\prime }=\{a,b,e,f,g,h,i,j\}$ — مطابقت رکھتا ہے۔
4. وین اشکال: مستطیل $U$؛ دائرے $A$ اور $B$ کا اشتراک $\{c,d\}$ پر؛ صرف $A$ میں $=\{a,b,g,h\}$؛ صرف $B$ میں $=\{e,f,j\}$؛ دونوں سے باہر $=\{i\}$۔

Answer: $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime }=\{i\}$؛ $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }=\{a,b,e,f,g,h,i,j\}$ — دونوں قوانین ثابت

س11(i) — $U=\{1,\dots ,20\}$، $A=\{1,3,5,\dots ,19\}$ کے لیے $A\cup A^{\prime }=U$ ثابت کریں

$A\cup A^{\prime }=U$ ثابت کریں۔

1. $A^{\prime }=U-A=\{2,4,6,\dots ,20\}$ (جفت اعداد)۔
2. $A\cup A^{\prime }=\{1,2,\dots ,20\}=U$۔

Answer: ثابت: $A\cup A^{\prime }=U$

س11(ii) — $A\cap U=A$ ثابت کریں

$A\cap U=A$ ثابت کریں۔

1. چونکہ $A\subseteq U$، لہٰذا $A$ کو یونیورسل سیٹ سے ملانے پر $A$ ہی ملتا ہے۔

Answer: ثابت: $A\cap U=A$

س11(iii) — $A\cap A^{\prime }=\varnothing$ ثابت کریں

$A\cap A^{\prime }=\varnothing$ ثابت کریں۔

1. $A$ اور اس کی متمم $A^{\prime }$ کا کوئی مشترک رکن نہیں ہوتا۔

Answer: ثابت: $A\cap A^{\prime }=\varnothing$

ع1 — کرکٹ اور ہاکی (55 طلبہ)

55 طلبہ؛ 34 کرکٹ پسند کرتے ہیں، 30 ہاکی؛ ہر ایک کم از کم ایک پسند کرتا ہے۔ کتنے دونوں پسند کرتے ہیں؟

1. $n(C\cup H)=n(C)+n(H)-n(C\cap H)$۔
2. $55=34+30-n(C\cap H)\Rightarrow n(C\cap H)=64-55$۔

Answer: $9$ طلبہ دونوں کھیل پسند کرتے ہیں

ع2 — تین زبانیں (500 ملازمین)

500 ملازمین؛ $250$ اردو، $150$ انگریزی، $50$ پنجابی؛ دو دو کا اشتراک $40,30,10$؛ ہر ایک کم از کم ایک بولتا ہے۔ تینوں بولنے والے معلوم کریں۔

1. $n(U\cup E\cup P)=n(U)+n(E)+n(P)-n(U\cap E)-n(E\cap P)-n(U\cap P)+n(U\cap E\cap P)$۔
2. $500=250+150+50-40-30-10+x=370+x$۔

Answer: $x=130$ (معیاری تین سیٹ فارمولا لگا کر)

ع3 — قمیضیں اور ٹوپیاں (کل 34)

19 نیلی قمیض، 15 سبز قمیض، $3$ نیلی∩سبز، $4$ ٹوپی∩نیلی، $2$ ٹوپی∩سبز، تینوں کا اشتراک نہیں دیا گیا (صفر فرض کریں)؛ کل $34$۔ ٹوپی پہننے والے معلوم کریں۔

1. $34=19+15+c-3-4-2+0=25+c$۔

Answer: $c=9$ لوگ ٹوپی پہنتے ہیں

ع4 — لیپ ٹاپ، ٹیبلیٹ، کتب (کل 35)

17 لیپ ٹاپ، 11 ٹیبلیٹ، $9$ لیپ ٹاپ∩ٹیبلیٹ، $6$ لیپ ٹاپ∩کتب، $4$ ٹیبلیٹ∩کتب، $8$ تینوں رکھتے ہیں؛ کل $35$۔ کتب رکھنے والے معلوم کریں۔

1. $35=17+11+b-9-6-4+8=17+b$۔

Answer: $b=18$ شرکاء کے پاس کتب ہیں

ع5(a) — شاپنگ مال تنخواہ سیٹ: $(A^{\prime }\cup B^{\prime })\cap C$

$U=\{1,\dots ,150\}$، $A=\{50,\dots ,89\}$، $B=\{101,\dots ,150\}$، $C=\{1,\dots ,49\}\cup \{90,\dots ,100\}$۔ $(A^{\prime }\cup B^{\prime })\cap C$ معلوم کریں۔

1. $A^{\prime }=\{1,\dots ,49\}\cup \{90,\dots ,150\}$؛ $B^{\prime }=\{1,\dots ,100\}$۔
2. $A^{\prime }\cup B^{\prime }$ سب کچھ $1$–$100$ ($B^{\prime }$ کے ذریعے) اور $90$–$150$ ($A^{\prime }$ کے ذریعے) یعنی پورا $U$ احاطہ کرتا ہے۔
3. $(A^{\prime }\cup B^{\prime })\cap C=U\cap C=C$۔

Answer: $(A^{\prime }\cup B^{\prime })\cap C=C=\{1,\dots ,49\}\cup \{90,\dots ,100\}$ (60 ارکان)

ع5(b) — $n\{A\cap (B^{\prime }\cap C^{\prime })\}$ معلوم کریں

انہی سیٹوں سے $n\{A\cap (B^{\prime }\cap C^{\prime })\}$ معلوم کریں۔

1. $C^{\prime }=\{50,\dots ,89\}\cup \{101,\dots ,150\}$۔
2. $B^{\prime }\cap C^{\prime }=\{1,\dots ,100\}\cap (\{50,\dots ,89\}\cup \{101,\dots ,150\})=\{50,\dots ,89\}$۔
3. $A\cap (B^{\prime }\cap C^{\prime })=\{50,\dots ,89\}\cap \{50,\dots ,89\}=A$، جس کے $89-50+1$ ارکان ہیں۔

Answer: $n\{A\cap (B^{\prime }\cap C^{\prime })\}=40$

ع6(a) — کرکٹ، فٹ بال، ہاکی (125 طلبہ)

60 کرکٹ، 70 فٹ بال، 40 ہاکی؛ دو دو کا اشتراک $25,15,10$؛ کل (ہر ایک کم از کم ایک کھیلتا ہے) $125$۔ تینوں کھیلنے والے معلوم کریں۔

1. $125=60+70+40-25-15-10+x=120+x$۔

Answer: $x=5$ طلبہ تینوں کھیل کھیلتے ہیں

ع6(b) — کھیلوں کے سوال کے لیے وین اشکال

تقسیم دکھانے کے لیے وین اشکال بنائیں۔

1. صرف کرکٹ $=60-[(25-5)+(10-5)+5]=30$۔
2. صرف فٹ بال $=70-[(25-5)+(15-5)+5]=35$۔
3. صرف ہاکی $=40-[(15-5)+(10-5)+5]=20$۔
4. کرکٹ∩فٹ بال صرف $=20$؛ فٹ بال∩ہاکی صرف $=10$؛ کرکٹ∩ہاکی صرف $=5$؛ تینوں $=5$۔
5. چیک: $30+35+20+20+10+5+5=125$ ✓

Answer: خانے: صرف-C$=30$، صرف-F$=35$، صرف-H$=20$، C∩F$=20$، F∩H$=10$، C∩H$=5$، تینوں$=5$

ع7(a) — نہاری، بریانی، قورمہ سروے (130 لوگ): کم از کم ایک

40 نہاری، 65 بریانی، 50 قورمہ؛ دو دو کا اشتراک $20,35,27$؛ تینوں $=12$۔ کم از کم کتنے لوگ نہاری، بریانی یا قورمہ پسند کرتے ہیں؟

1. $n(N\cup B\cup K)=40+65+50-20-35-27+12=155-82+12$۔

Answer: $85$ لوگ

ع7(b) — کتنے لوگ کوئی بھی پسند نہیں کرتے؟

انہی اعداد و شمار سے، کتنے لوگ تینوں میں سے کوئی بھی پسند نہیں کرتے؟

1. کل سروے شدہ $-$ کم از کم ایک پسند کرنے والے: $130-85$۔

Answer: $45$ لوگ

ع7(c) — کتنے لوگ صرف ایک کھانا پسند کرتے ہیں؟

انہی اعداد و شمار سے، کتنے لوگ صرف ایک کھانا پسند کرتے ہیں؟

1. صرف نہاری $=40-20-27+12=5$۔
2. صرف بریانی $=65-20-35+12=22$۔
3. صرف قورمہ $=50-27-35+12=0$۔
4. مجموعہ $=5+22+0$۔

Answer: $27$ لوگ بالکل ایک کھانا پسند کرتے ہیں

ع7(d) — کھانوں کے سروے کے لیے وین اشکال

کھانوں کے سروے کے لیے وین اشکال بنائیں۔

1. صرف-N$=5$، صرف-B$=22$، صرف-K$=0$، N∩B صرف$=8$، B∩K صرف$=23$، N∩K صرف$=15$، تینوں$=12$۔
2. چیک: $5+22+0+8+23+15+12=85$ (تینوں دائروں کے اندر)، جمع $45$ باہر $=130$ ✓

Answer: خانے مذکورہ بالا؛ $45$ لوگ تینوں دائروں سے باہر ہیں

س12(i) — ربط $\{(x,y)\mid y=x\}$

$A=\{1,2,3,4\}$ میں ربط اور اس کی ڈومین/رینج معلوم کریں۔

1. جوڑے جہاں $y=x$: $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$۔

Answer: ربط $=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$؛ ڈومین $=$ رینج $=\{1,2,3,4\}$

س12(ii) — ربط $\{(x,y)\mid y+x=5\}$

ربط اور اس کی ڈومین/رینج معلوم کریں۔

1. $x+y=5$ والے جوڑے: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$۔

Answer: ربط $=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}$؛ ڈومین $=$ رینج $=\{1,2,3,4\}$

س12(iii) — ربط $\{(x,y)\mid x+y<5\}$

ربط اور اس کی ڈومین/رینج معلوم کریں۔

1. ہر $x$ کی جانچ: $x=1\Rightarrow y\in \{1,2,3\}$؛ $x=2\Rightarrow y\in \{1,2\}$؛ $x=3\Rightarrow y=1$؛ $x=4$: کوئی نہیں۔

Answer: ربط $=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)\}$؛ ڈومین $=\{1,2,3\}$، رینج $=\{1,2,3\}$

س12(iv) — ربط $\{(x,y)\mid x+y>5\}$

ربط اور اس کی ڈومین/رینج معلوم کریں۔

1. ہر $x$ کی جانچ: $x=2\Rightarrow y=4$؛ $x=3\Rightarrow y\in \{3,4\}$؛ $x=4\Rightarrow y\in \{2,3,4\}$۔

Answer: ربط $=\{(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)\}$؛ ڈومین $=\{2,3,4\}$، رینج $=\{2,3,4\}$

س13(i) — $g(x)=3x+2$ کے لیے $g(0)$

$g(0)$ معلوم کریں۔

1. $g(0)=3(0)+2$۔

Answer: $2$

س13(ii) — $g(-3)$

$g(-3)$ معلوم کریں۔

1. $g(-3)=3(-3)+2=-9+2$۔

Answer: $-7$

س13(iii) — $g\left(\frac{2}{3}\right)$

$g\left(\frac{2}{3}\right)$ معلوم کریں۔

1. $g\left(\frac{2}{3}\right)=3\left(\frac{2}{3}\right)+2=2+2$۔

Answer: $4$

س13(iv) — $h(x)=x^2+1$ کے لیے $h(1)$

$h(1)$ معلوم کریں۔

1. $h(1)=1^2+1$۔

Answer: $2$

س13(v) — $h(-4)$

$h(-4)$ معلوم کریں۔

1. $h(-4)=(-4{)}^2+1=16+1$۔

Answer: $17$

س13(vi) — $h\left(-\frac{1}{2}\right)$

$h\left(-\frac{1}{2}\right)$ معلوم کریں۔

1. $h\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{1}{4}+1$۔

Answer: $\frac{5}{4}$

س14(i) — $a,b$ معلوم کریں: $f(x)=ax+b+1$، $f(3)=8$، $f(6)=14$

$a$ اور $b$ کی قیمتیں معلوم کریں۔

1. $f(3)=8\Rightarrow 3a+b=7$۔
2. $f(6)=14\Rightarrow 6a+b=13$۔
3. تفریق: $3a=6\Rightarrow a=2$؛ پھر $b=7-3(2)=1$۔

Answer: $a=2,b=1$

س14(ii) — $a,b$ معلوم کریں: $g(x)=ax+b+5$، $g(-1)=0$، $g(2)=10$

$a$ اور $b$ کی قیمتیں معلوم کریں۔

1. $g(-1)=0\Rightarrow -a+b=-5$۔
2. $g(2)=10\Rightarrow 2a+b=5$۔
3. تفریق: $3a=10\Rightarrow a=\frac{10}{3}$؛ پھر $b=-5+a=-\frac{5}{3}$۔

Answer: $a=\frac{10}{3},b=-\frac{5}{3}$

س14(iii) — $f(x)=5x+2$، $f(x)=32$، $x$ معلوم کریں

اگر $f(x)=32$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $5x+2=32\Rightarrow 5x=30$۔

Answer: $x=6$

س14(iv) — $c,d$ معلوم کریں: $f(x)=c{x}^2+d$، $f(1)=6$، $f(-2)=10$

$c$ اور $d$ کی قیمتیں معلوم کریں۔

1. $f(1)=6\Rightarrow c+d=6$۔
2. $f(-2)=10\Rightarrow 4c+d=10$۔
3. تفریق: $3c=4\Rightarrow c=\frac{4}{3}$؛ پھر $d=6-\frac{4}{3}=\frac{14}{3}$۔

Answer: $c=\frac{4}{3},d=\frac{14}{3}$

س15(i) — اندراجی: $\{x\mid x=2n,n\in N\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $n=1,2,3,\dots$ سے تمام جفت اعداد ملتے ہیں۔

Answer: $\{2,4,6,8,\dots \}$

س15(ii) — اندراجی: $\{x\mid x=2m+1,m\in N\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $m=1,2,3,\dots$ سے $3,5,7,\dots$ ملتے ہیں۔

Answer: $\{3,5,7,9,\dots \}$

س15(iii) — اندراجی: $\{x\mid x=11n,n\in W\wedge n<11\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $W=\{0,1,2,\dots \}$؛ $n=0,\dots ,10$۔

Answer: $\{0,11,22,33,44,55,66,77,88,99,110\}$

س15(iv) — اندراجی: $\{x\mid x\in E\wedge 4<x<6\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں ($E$ = جفت اعداد)۔

1. $4$ اور $6$ کے سختی سے درمیان صرف $5$ ہے، جو طاق ہے — کوئی جفت عدد نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س15(v) — اندراجی: $\{x\mid x\in O\wedge 5<x<7\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں ($O$ = طاق اعداد)۔

1. $5$ اور $7$ کے سختی سے درمیان صرف $6$ ہے، جو جفت ہے — کوئی طاق عدد نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س15(vi) — اندراجی: $\{x\mid x\in Q\wedge x^2=2\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $x=\pm \sqrt{2}$ جو ناطق نہیں، لہٰذا $Q$ میں نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س15(vii) — اندراجی: $\{x\mid x\in Q\wedge x=-x\}$

اندراجی طریقہ میں لکھیں۔

1. $x=-x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$، اور $0\in Q$۔

Answer: $\{0\}$

س15(viii) — $\{x\mid x\in R\wedge x\notin Q^{\prime }\}$

اس سیٹ کی وضاحت کریں۔

1. $Q^{\prime }$ غیر ناطق اعداد کا سیٹ ہے؛ حقیقی اعداد میں "غیر ناطق نہیں" کا مطلب ناطق ہے۔
2. لہٰذا یہ سیٹ بالکل $Q$ ہے، جو لامحدود ہے اور اندراجی طریقہ میں نہیں لکھا جا سکتا۔

Answer: یہ سیٹ $Q$ (ناطق اعداد) کے برابر ہے — لامحدود، اندراجی فہرست ممکن نہیں

س16(i) — $A^{\prime }$ معلوم کریں

$A^{\prime }$ کی فہرست بنائیں۔

1. $A^{\prime }=U-A$۔

Answer: $\{1,3,5,7,9\}$

س16(ii) — $B^{\prime }$ معلوم کریں

$B^{\prime }$ کی فہرست بنائیں۔

1. $B^{\prime }=U-B$۔

Answer: $\{6,7,8,9,10\}$

س16(iii) — $A\cup B$ معلوم کریں

$A\cup B$ کی فہرست بنائیں۔

1. دونوں کو ملائیں، مشترک ($2,4$) ایک بار شمار کریں۔

Answer: $\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$

س16(iv) — $A-B$ معلوم کریں

$A-B$ کی فہرست بنائیں۔

1. $A$ کے وہ ارکان جو $B$ میں نہیں۔

Answer: $\{6,8,10\}$

س16(v) — $A\cap C$ معلوم کریں

$A\cap C$ کی فہرست بنائیں۔

1. $A$ تمام جفت ہے، $C$ تمام طاق ہے — کوئی اشتراک نہیں۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س16(vi) — $A^{\prime }\cup C^{\prime }$ معلوم کریں

$A^{\prime }\cup C^{\prime }$ کی فہرست بنائیں۔

1. $A^{\prime }=\{1,3,5,7,9\}$، $C^{\prime }=U-C=\{2,4,6,8,10\}$؛ ان کا یونین $U$ کا سب کچھ احاطہ کرتا ہے۔

Answer: $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}=U$

س16(vii) — $A^{\prime }\cap C$ معلوم کریں

$A^{\prime }\cap C$ کی فہرست بنائیں۔

1. $A^{\prime }=\{1,3,5,7,9\}$ جو $C=\{1,3,5,7,9\}$ سے بالکل یکساں ہے۔

Answer: $\{1,3,5,7,9\}$

س16(viii) — $U^{\prime }$ معلوم کریں

$U^{\prime }$ کی فہرست بنائیں۔

1. یونیورسل سیٹ کی اپنے اندر متمم ہمیشہ خالی ہوتی ہے۔

Answer: $\{\}=\varnothing$

س17(i) — $A^{\prime }$ کو آسان کریں

$A^{\prime }$ کے برابر واحد سیٹ معلوم کریں۔

1. $A^{\prime }$ پہلے ہی ایک واحد سیٹ اظہار ہے؛ $A$ کو واضح جانے بغیر مزید آسان نہیں ہو سکتا۔

Answer: $A^{\prime }$ (پہلے ہی آسان ترین صورت میں)

س17(ii) — $A\cap U$ کو آسان کریں

$A\cap U$ کے برابر واحد سیٹ معلوم کریں۔

1. کسی بھی سیٹ کو یونیورسل سیٹ سے ملانے پر وہی سیٹ ملتی ہے۔

Answer: $A$

س17(iii) — $A\cup U$ کو آسان کریں

$A\cup U$ کے برابر واحد سیٹ معلوم کریں۔

1. یونیورسل سیٹ کے ساتھ یونین ہمیشہ یونیورسل سیٹ دیتا ہے۔

Answer: $U$

س17(iv) — $A\cup \varnothing$ کو آسان کریں

$A\cup \varnothing$ کے برابر واحد سیٹ معلوم کریں۔

1. خاصیت تشخص: خالی سیٹ سے یونین کچھ نہیں بدلتا۔

Answer: $A$

س17(v) — $\varnothing \cap \varnothing$ کو آسان کریں

$\varnothing \cap \varnothing$ کے برابر واحد سیٹ معلوم کریں۔

1. خالی سیٹ کا اپنے آپ سے تقاطع بھی خالی ہی رہتا ہے۔

Answer: $\varnothing$

س18(i) — $A-B=A\cap B^{\prime }$ ثابت کریں

وین اشکال سے تفریق سیٹ کی خاصیت ثابت کریں۔

1. $A$ کو نشان زد کریں، پھر $B$ سے اشتراک والا حصہ ہٹا دیں — جو باقی رہتا ہے وہی $A$ اور $B$ سے باہر کے علاقے ($B^{\prime }$) کا تقاطع ہے۔
2. مثال چیک: $U=\{1,2,3,4\}$، $A=\{1,2\}$، $B=\{2,3\}$۔ $A-B=\{1\}$۔ $B^{\prime }=\{1,4\}$، تو $A\cap B^{\prime }=\{1,2\}\cap \{1,4\}=\{1\}$ — مطابقت رکھتا ہے۔

Answer: ثابت: $A-B=A\cap B^{\prime }$

س18(ii) — $(A-B{)}^{\prime }\cap B=B$ ثابت کریں

وین اشکال سے یہ خاصیت ثابت کریں۔

1. ڈی مورگن کے قانون سے $(A-B{)}^{\prime }=(A\cap B^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B$۔
2. $(A^{\prime }\cup B)\cap B=(A^{\prime }\cap B)\cup (B\cap B)=(A^{\prime }\cap B)\cup B=B$، چونکہ $A^{\prime }\cap B\subseteq B$۔
3. مثال چیک: $U=\{1,2,3,4\}$، $A=\{1,2\}$، $B=\{2,3\}$: $A-B=\{1\}$، $(A-B{)}^{\prime }=\{2,3,4\}$، $(A-B{)}^{\prime }\cap B=\{2,3,4\}\cap \{2,3\}=\{2,3\}=B$ — مطابقت رکھتا ہے۔

Answer: ثابت: $(A-B{)}^{\prime }\cap B=B$

س19(a) — $A=\{1,2,3,4\}$، $B=\{3,4,5,6,7,8\}$، $C=\{5,6,7,9,10\}$ کے لیے چاروں قوانین ثابت کریں

یونین/تقاطع کی خاصیت تلازم اور دونوں اطراف کی تقسیمی خاصیت ثابت کریں۔

1. یونین تلازم: $(A\cup B)\cup C=\{1,\dots ,8\}\cup C=\{1,\dots ,10\}$؛ $A\cup (B\cup C)=A\cup \{3,\dots ,10\}=\{1,\dots ,10\}$ — یکساں۔
2. تقاطع تلازم: $(A\cap B)\cap C=\{3,4\}\cap C=\varnothing$؛ $A\cap (B\cap C)=A\cap \{5,6,7\}=\varnothing$ — یکساں۔
3. تقاطع پر یونین کی تقسیمی: $A\cup (B\cap C)=A\cup \{5,6,7\}=\{1,2,3,4,5,6,7\}$؛ $(A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,\dots ,8\}\cap \{1,2,3,4,5,6,7,9,10\}=\{1,\dots ,7\}$ — یکساں۔
4. یونین پر تقاطع کی تقسیمی: $A\cap (B\cup C)=A\cap \{3,\dots ,10\}=\{3,4\}$؛ $(A\cap B)\cup (A\cap C)=\{3,4\}\cup \varnothing =\{3,4\}$ — یکساں۔

Answer: صورت (a) کے لیے چاروں قوانین ثابت

س19(b) — $A=\varnothing$، $B=\{0\}$، $C=\{0,1,2\}$ کے لیے چاروں قوانین ثابت کریں

یہی چاروں قوانین ثابت کریں۔