9th Class Math Chapter 2 Notes

س1(i) — سائنسی ترقیم: $2000000$

$2000000$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو حرکت دیں تاکہ صرف ایک غیر صفر ہندسہ اس سے پہلے رہے: $2000000=2\times 10^6$۔

Answer: $2\times 10^6$

س1(ii) — سائنسی ترقیم: $48900$

$48900$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $48900=4.89\times 10^4$۔

Answer: $4.89\times 10^4$

س1(iii) — سائنسی ترقیم: $0.0042$

$0.0042$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $0.0042=4.2\times 10^{-3}$۔

Answer: $4.2\times 10^{-3}$

س1(iv) — سائنسی ترقیم: $0.0000009$

$0.0000009$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $0.0000009=9\times 10^{-7}$۔

Answer: $9\times 10^{-7}$

س1(v) — سائنسی ترقیم: $73\times 10^3$

$73\times 10^3$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. حد اول $1$ اور $10$ کے درمیان ہونی چاہیے: $73=7.3\times 10^1$۔
2. لہٰذا $73\times 10^3=7.3\times 10^4$۔

Answer: $7.3\times 10^4$

س1(vi) — سائنسی ترقیم: $0.65\times 10^2$

$0.65\times 10^2$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $0.65=6.5\times 10^{-1}$۔
2. لہٰذا $0.65\times 10^2=6.5\times 10^1$۔

Answer: $6.5\times 10^1$

س1(vii) — سائنسی ترقیم: $0.000567$

$0.000567$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $0.000567=5.67\times 10^{-4}$۔

Answer: $5.67\times 10^{-4}$

س1(viii) — سائنسی ترقیم: $734$

$734$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $734=7.34\times 10^2$۔

Answer: $7.34\times 10^2$

س1(ix) — سائنسی ترقیم: $0.33\times 10^3$

$0.33\times 10^3$ کو سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. $0.33=3.3\times 10^{-1}$۔
2. لہٰذا $0.33\times 10^3=3.3\times 10^2$۔

Answer: $3.3\times 10^2$

س2(i) — عام ترقیم: $8.04\times 10^2$

$8.04\times 10^2$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $2$ جگہ دائیں لے جائیں: $8.04\to 804$۔

Answer: $804$

س2(ii) — عام ترقیم: $3\times 10^5$

$3\times 10^5$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $5$ جگہ دائیں لے جائیں: $3\to 300000$۔

Answer: $300000$

س2(iii) — عام ترقیم: $1.5\times 10^{-2}$

$1.5\times 10^{-2}$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $2$ جگہ بائیں لے جائیں: $1.5\to 0.015$۔

Answer: $0.015$

س2(iv) — عام ترقیم: $1.77\times 10^7$

$1.77\times 10^7$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $7$ جگہ دائیں لے جائیں: $1.77\to 17700000$۔

Answer: $17700000$

س2(v) — عام ترقیم: $5.5\times 10^{-6}$

$5.5\times 10^{-6}$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $6$ جگہ بائیں لے جائیں: $5.5\to 0.0000055$۔

Answer: $0.0000055$

س2(vi) — عام ترقیم: $4\times 10^{-5}$

$4\times 10^{-5}$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $5$ جگہ بائیں لے جائیں: $4\to 0.00004$۔

Answer: $0.00004$

س2(vii) — عام ترقیم: $2.6\times 10^3$

$2.6\times 10^3$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $3$ جگہ دائیں لے جائیں: $2.6\to 2600$۔

Answer: $2600$

س2(viii) — عام ترقیم: $8.794\times 10^{-4}$

$8.794\times 10^{-4}$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $4$ جگہ بائیں لے جائیں: $8.794\to 0.0008794$۔

Answer: $0.0008794$

س2(ix) — عام ترقیم: $6\times 10^{-6}$

$6\times 10^{-6}$ کو عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $6$ جگہ بائیں لے جائیں: $6\to 0.000006$۔

Answer: $0.000006$

ع1 — روشنی کی رفتار

روشنی کی رفتار تقریباً $3\times 10^8$ میٹر فی سیکنڈ ہے۔ اسے سائنسی اور عام ترقیم میں لکھیں۔

1. یہ پہلے ہی درست سائنسی صورت میں ہے کیونکہ $1\le 3<10$: $3\times 10^8$۔
2. عام صورت میں، اعشاریہ کو $8$ جگہ دائیں لے جائیں۔

Answer: سائنسی: $3\times 10^8$؛ عام: $300,000,000$ میٹر/سیکنڈ

ع2 — زمین کا محیط

زمین کا خط استوا پر محیط تقریباً $40,075,000$ میٹر ہے۔ سائنسی ترقیم میں لکھیں۔

1. ایک غیر صفر ہندسہ اعشاریہ سے پہلے رکھیں: $4.0075\times 10^7$۔

Answer: $4.0075\times 10^7$ میٹر

ع3 — مریخ کا قطر

مریخ کا قطر $6.779\times 10^3$ کلومیٹر ہے۔ عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $3$ جگہ دائیں لے جائیں: $6.779\to 6779$۔

Answer: $6779$ کلومیٹر

ع4 — زمین کا قطر

زمین کا قطر تقریباً $1.2756\times 10^4$ کلومیٹر ہے۔ عام ترقیم میں لکھیں۔

1. اعشاریہ کو $4$ جگہ دائیں لے جائیں: $1.2756\to 12756$۔

Answer: $12756$ کلومیٹر

س3(i) — لوگارتھمی شکل: $10^3=1000$

$10^3=1000$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $\to$ لوگ کی اساس؛ توانی $\to$ لوگ کی قیمت۔

Answer: ${\log }_{10}1000=3$

س3(ii) — لوگارتھمی شکل: $2^8=256$

$2^8=256$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $2$، توانی $8$۔

Answer: ${\log }_{2}256=8$

س3(iii) — لوگارتھمی شکل: $3^{-3}=\frac{1}{27}$

$3^{-3}=\frac{1}{27}$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $3$، توانی $-3$۔

Answer: ${\log }_3\frac{1}{27}=-3$

س3(iv) — لوگارتھمی شکل: $20^2=400$

$20^2=400$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $20$، توانی $2$۔

Answer: ${\log }_{20}400=2$

س3(v) — لوگارتھمی شکل: $16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

$16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $16$، توانی $-\frac{1}{4}$۔

Answer: ${\log }_{16}\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$

س3(vi) — لوگارتھمی شکل: $11^2=121$

$11^2=121$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $11$، توانی $2$۔

Answer: ${\log }_{11}121=2$

س3(vii) — لوگارتھمی شکل: $p=q^r$

$p=q^r$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $q$، توانی $r$، نتیجہ $p$۔

Answer: ${\log }_{q}p=r$

س3(viii) — لوگارتھمی شکل: $(32{)}^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}$

$(32{)}^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $32$، توانی $-\frac{1}{5}$۔

Answer: ${\log }_{32}\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}$

س3(ix) — لوگارتھمی شکل: $3^7=2187$

$3^7=2187$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $3$، توانی $7$۔

Answer: ${\log }_{3}2187=7$

س3(x) — لوگارتھمی شکل: $a^b=c$

$a^b=c$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $a$، توانی $b$، نتیجہ $c$۔

Answer: ${\log }_{a}c=b$

س3(xi) — لوگارتھمی شکل: $(12{)}^2=144$

$(12{)}^2=144$ کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔

1. اساس $12$، توانی $2$۔

Answer: ${\log }_{12}144=2$

س4(i) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{5}125=3$

${\log }_{5}125=3$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. اساس کو لوگ کی قیمت پر توانی دینے سے عدد ملتا ہے: $5^3=125$۔

Answer: $5^3=125$

س4(ii) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{2}16=4$

${\log }_{2}16=4$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $2^4=16$۔

Answer: $2^4=16$

س4(iii) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{23}1=0$

${\log }_{23}1=0$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. کوئی بھی غیر صفر اساس کی صفر توانی $1$ کے برابر ہوتی ہے: $23^0=1$۔

Answer: $23^0=1$

س4(iv) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{5}5=1$

${\log }_{5}5=1$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. کسی بھی اساس کی $1$ توانی خود اساس کے برابر ہوتی ہے: $5^1=5$۔

Answer: $5^1=5$

س4(v) — قوت نمائی شکل: ${\log }_2\frac{1}{8}=-3$

${\log }_2\frac{1}{8}=-3$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $2^{-3}=\frac{1}{8}$۔

Answer: $2^{-3}=\frac{1}{8}$

س4(vi) — قوت نمائی شکل: $\frac{1}{2}={\log }_{9}3$

$\frac{1}{2}={\log }_{9}3$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $9^{1/2}=3$۔

Answer: $9^{\frac{1}{2}}=3$

س4(vii) — قوت نمائی شکل: $5={\log }_{10}100000$

$5={\log }_{10}100000$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $10^5=100000$۔

Answer: $10^5=100000$

س4(viii) — قوت نمائی شکل: ${\log }_4\frac{1}{16}=-2$

${\log }_4\frac{1}{16}=-2$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $4^{-2}=\frac{1}{16}$۔

Answer: $4^{-2}=\frac{1}{16}$

س4(ix) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{4}8=x$

${\log }_{4}8=x$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $4^x=8$۔

Answer: $4^x=8$

س4(x) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{9}729=3$

${\log }_{9}729=3$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $9^3=729$۔

Answer: $9^3=729$

س4(xi) — قوت نمائی شکل: ${\log }_{4}1024=5$

${\log }_{4}1024=5$ کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔

1. $4^5=1024$۔

Answer: $4^5=1024$

س5(i) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{x}64=3$

${\log }_{x}64=3$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. قوت نمائی شکل میں: $x^3=64$۔
2. $x=\sqrt[3]{64}=4$۔

Answer: $x=4$

س5(ii) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{5}1=x$

${\log }_{5}1=x$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. کسی بھی اساس میں $1$ کا لوگ ہمیشہ $0$ ہوتا ہے، کیونکہ (اساس)${}^0=1$۔

Answer: $x=0$

س5(iii) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{x}8=1$

${\log }_{x}8=1$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $x^1=8\Rightarrow x=8$۔

Answer: $x=8$

س5(iv) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{10}x=-3$

${\log }_{10}x=-3$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $x=10^{-3}=0.001$۔

Answer: $x=0.001$

س5(v) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{4}x=\frac{3}{2}$

${\log }_{4}x=\frac{3}{2}$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $x=4^{3/2}=(2^2{)}^{3/2}=2^3=8$۔

Answer: $x=8$

س5(vi) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{2}1024=x$

${\log }_{2}1024=x$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $2^{10}=1024$، لہٰذا $x=10$۔

Answer: $x=10$

س5(vii) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{9}x=0.5$

${\log }_{9}x=0.5$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $x=9^{0.5}=\sqrt{9}=3$۔

Answer: $x=3$

س5(viii) — $x$ معلوم کریں: ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{3x}=27$

${\left(\frac{1}{9}\right)}^{3x}=27$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. دونوں اطراف $3$ کی توانی میں: $\frac{1}{9}=3^{-2}$، $27=3^3$۔
2. $3^{-6x}=3^3\Rightarrow -6x=3\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$۔

Answer: $x=-\frac{1}{2}$

س5(ix) — $x$ معلوم کریں: ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{2x}=64$

${\left(\frac{1}{32}\right)}^{2x}=64$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $\frac{1}{32}=2^{-5}$، $64=2^6$۔
2. $-10x=6\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$۔

Answer: $x=-\frac{3}{5}$

س6(i) — $x$ معلوم کریں: $\log 2+\log x=1$

$\log 2+\log x=1$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. ملائیں: $\log (2x)=1$۔
2. $2x=10^1=10\Rightarrow x=5$۔

Answer: $x=5$

س6(ii) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_{2}x+{\log }_{2}8=5$

${\log }_{2}x+{\log }_{2}8=5$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. ملائیں: ${\log }_2(8x)=5$۔
2. $8x=32\Rightarrow x=4$۔

Answer: $x=4$

س6(iii) — $x$ معلوم کریں: $(81{)}^x=(243{)}^{x+2}$

$81^x=243^{x+2}$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $81=3^4$، $243=3^5$۔
2. $4x=5x+10\Rightarrow x=-10$۔

Answer: $x=-10$

س6(iv) — $x$ معلوم کریں: ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{x-6}=27$

${\left(\frac{1}{27}\right)}^{x-6}=27$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $-3(x-6)=3\Rightarrow x-6=-1\Rightarrow x=5$۔

Answer: $x=5$

س6(v) — $x$ معلوم کریں: $\log (5x-10)=2$

$\log (5x-10)=2$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $5x-10=100\Rightarrow x=22$۔

Answer: $x=22$

س6(vi) — $x$ معلوم کریں: ${\log }_2(x+1)-{\log }_2(x-4)=2$

${\log }_2(x+1)-{\log }_2(x-4)=2$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $\frac{x+1}{x-4}=4\Rightarrow x+1=4x-16\Rightarrow x=\frac{17}{3}$۔
2. $x>4$ چیک: $\frac{17}{3}\approx 5.67$ درست۔

Answer: $x=\frac{17}{3}$

س7(i) — خاصہ: $5287$

$\log 5287$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. $5287$ میں اعشاریہ سے پہلے $4$ ہندسے ہیں۔
2. خاصہ $=4-1=3$۔

Answer: $3$

س7(ii) — خاصہ: $59.28$

$\log 59.28$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. $2$ ہندسے، خاصہ $=1$۔

Answer: $1$

س7(iii) — خاصہ: $0.0567$

$\log 0.0567$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. پہلا معنی خیز ہندسہ ($5$) دوسری اعشاری جگہ پر ہے۔
2. خاصہ $=-2$ ($\bar{2}$)۔

Answer: $-2$ ($\bar{2}$)

س7(iv) — خاصہ: $234.7$

$\log 234.7$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. $3$ ہندسے، خاصہ $=2$۔

Answer: $2$

س7(v) — خاصہ: $0.000049$

$\log 0.000049$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. پہلا معنی خیز ہندسہ ($4$) پانچویں اعشاری جگہ پر ہے۔
2. خاصہ $=-5$ ($\bar{5}$)۔

Answer: $-5$ ($\bar{5}$)

س7(vi) — خاصہ: $145000$

$\log 145000$ کا خاصہ معلوم کریں۔

1. $6$ ہندسے، خاصہ $=5$۔

Answer: $5$

س8(i) — لوگارتھم: $43$

لوگارتھم جدول سے $\log 43$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=1$۔
2. $4.3$ کا مینٹیسا $\approx 0.6335$۔

Answer: $\log 43\approx 1.6335$

س8(ii) — لوگارتھم: $579$

لوگارتھم جدول سے $\log 579$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=2$۔
2. $5.79$ کا مینٹیسا $\approx 0.7627$۔

Answer: $\log 579\approx 2.7627$

س8(iii) — لوگارتھم: $1.982$

لوگارتھم جدول سے $\log 1.982$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=0$۔
2. مینٹیسا $\approx 0.2973$۔

Answer: $\log 1.982\approx 0.2973$

س8(iv) — لوگارتھم: $0.0876$

لوگارتھم جدول سے $\log 0.0876$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=-2$۔
2. $8.76$ کا مینٹیسا $\approx 0.9428$۔

Answer: $\log 0.0876\approx \bar{2}.9428$

س8(v) — لوگارتھم: $0.047$

لوگارتھم جدول سے $\log 0.047$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=-2$۔
2. مینٹیسا $\approx 0.6721$۔

Answer: $\log 0.047\approx \bar{2}.6721$

س8(vi) — لوگارتھم: $0.000354$

لوگارتھم جدول سے $\log 0.000354$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=-4$۔
2. مینٹیسا $\approx 0.5490$۔

Answer: $\log 0.000354\approx \bar{4}.5490$

س9(i) — $\log 3.177=0.5019$ سے $\log 3177$

$\log 3.177=0.5019$ سے $\log 3177$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=3$۔
2. $\log 3177=3+0.5019$۔

Answer: $3.5019$

س9(ii) — $\log 31.77$

$\log 31.77$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=1$۔

Answer: $1.5019$

س9(iii) — $\log 0.03177$

$\log 0.03177$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $=-2$۔

Answer: $\bar{2}.5019$

س10(i) — $x$ معلوم کریں: $\log x=0.0065$

$\log x=0.0065$ ہو تو $x$ معلوم کریں (اینٹی لوگ)۔

1. $x=10^{0.0065}\approx 1.015$۔

Answer: $x\approx 1.015$

س10(ii) — $x$ معلوم کریں: $\log x=1.192$

$\log x=1.192$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $1$ سے $x$ کے $2$ ہندسے اعشاریہ سے پہلے ہوں گے۔
2. مینٹیسا $0.192$ کا اینٹی لوگ $\approx 1.556$۔

Answer: $x\approx 15.56$

س10(iii) — $x$ معلوم کریں: $\log x=-3.434$

$\log x=-3.434$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. مثبت مینٹیسا میں: $-3.434=\bar{4}.566$۔
2. $0.566$ کا اینٹی لوگ $\approx 3.681$۔

Answer: $x\approx 0.0003681$

س10(iv) — $x$ معلوم کریں: $\log x=-1.5726$

$\log x=-1.5726$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $-1.5726=\bar{2}.4274$۔
2. $0.4274$ کا اینٹی لوگ $\approx 2.676$۔

Answer: $x\approx 0.02676$

س10(v) — $x$ معلوم کریں: $\log x=4.3561$

$\log x=4.3561$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. خاصہ $4$ سے $x$ کے $5$ ہندسے ہوں گے۔
2. $0.3561$ کا اینٹی لوگ $\approx 2.271$۔

Answer: $x\approx 22710$

س10(vi) — $x$ معلوم کریں: $\log x=-2.0184$

$\log x=-2.0184$ ہو تو $x$ معلوم کریں۔

1. $-2.0184=\bar{3}.9816$۔
2. $0.9816$ کا اینٹی لوگ $\approx 9.585$۔

Answer: $x\approx 0.009585$

س11(i) — قیمت: ${\log }_{2}18-{\log }_{2}9$

بلا کیلکولیٹر ${\log }_{2}18-{\log }_{2}9$ معلوم کریں۔

1. تقسیمی قانون: ${\log }_2\frac{18}{9}={\log }_{2}2$۔

Answer: $1$

س11(ii) — قیمت: ${\log }_{2}64+{\log }_{2}2$

${\log }_{2}64+{\log }_{2}2$ معلوم کریں۔

1. ضربی قانون: ${\log }_{2}128$۔ $2^7=128$۔

Answer: $7$

س11(iii) — قیمت: $\frac{1}{3}{\log }_{3}8-{\log }_{3}18$

$\frac{1}{3}{\log }_{3}8-{\log }_{3}18$ معلوم کریں۔

1. $\frac{1}{3}{\log }_{3}8={\log }_{3}2$۔
2. ${\log }_3\frac{2}{18}={\log }_3\frac{1}{9}=-2$۔

Answer: $-2$

س11(iv) — قیمت: $2\log 2+\log 25$

$2\log 2+\log 25$ معلوم کریں۔

1. $\log 4+\log 25=\log 100=2$۔

Answer: $2$

س11(v) — قیمت: $\frac{1}{3}{\log }_{4}64+2{\log }_{5}25$

$\frac{1}{3}{\log }_{4}64+2{\log }_{5}25$ معلوم کریں۔

1. ${\log }_{4}64=3$، $\frac{1}{3}(3)=1$۔
2. ${\log }_{5}25=2$، $2(2)=4$۔
3. مجموعہ $=5$۔

Answer: $5$

س11(vi) — قیمت: ${\log }_{3}12+{\log }_{3}0.25$

${\log }_{3}12+{\log }_{3}0.25$ معلوم کریں۔

1. ${\log }_3(12\times 0.25)={\log }_{3}3=1$۔

Answer: $1$

س12(i) — واحد لوگارتھم: $\frac{1}{2}\log 25+2\log 3$

$\frac{1}{2}\log 25+2\log 3$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\log 5+\log 9=\log 45$۔

Answer: $\log 45$

س12(ii) — واحد لوگارتھم: $\log 9-\log \frac{1}{3}$

$\log 9-\log \frac{1}{3}$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\log (9\times 3)=\log 27$۔

Answer: $\log 27$

س12(iii) — واحد لوگارتھم: ${\log }_5{b}^2\cdot {\log }_a{5}^3$

${\log }_5{b}^2\cdot {\log }_a{5}^3$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $=6({\log }_{5}b\times {\log }_{a}5)=6{\log }_{a}b$ (مشترک اساس کے ذریعے)۔

Answer: ${\log }_a{b}^6$

س12(iv) — واحد لوگارتھم: $2{\log }_{3}x+{\log }_{3}y$

$2{\log }_{3}x+{\log }_{3}y$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. ${\log }_3(x^{2}y)$۔

Answer: ${\log }_3(x^{2}y)$

س12(v) — واحد لوگارتھم: $4{\log }_{5}x-{\log }_{5}y+{\log }_{5}z$

$4{\log }_{5}x-{\log }_{5}y+{\log }_{5}z$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. ${\log }_5\frac{x^{4}z}{y}$۔

Answer: ${\log }_5\left(\frac{x^{4}z}{y}\right)$

س12(vi) — واحد لوگارتھم: $2\ln a+3\ln b-4\ln c$

$2\ln a+3\ln b-4\ln c$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\ln \frac{a^2{b}^3}{c^4}$۔

Answer: $\ln \left(\frac{a^2{b}^3}{c^4}\right)$

س12(vii) — واحد لوگارتھم: $7\log x-3\log y^2$

$7\log x-3\log y^2$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\log \frac{x^7}{y^6}$۔

Answer: $\log \left(\frac{x^7}{y^6}\right)$

س12(viii) — واحد لوگارتھم: $3\log 4-\log 32$

$3\log 4-\log 32$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\log 64-\log 32=\log 2$۔

Answer: $\log 2$

س12(ix) — واحد لوگارتھم: $\frac{1}{3}({\log }_{5}8+{\log }_{5}27)-{\log }_{5}3$

$\frac{1}{3}({\log }_{5}8+{\log }_{5}27)-{\log }_{5}3$ کو واحد لوگارتھم میں لکھیں۔

1. $\frac{1}{3}{\log }_{5}216={\log }_{5}6$۔
2. ${\log }_{5}6-{\log }_{5}3={\log }_{5}2$۔

Answer: ${\log }_{5}2$

س13(i) — پھیلائیں: $\log \left(\frac{11}{5}\right)$

$\log \left(\frac{11}{5}\right)$ کو قوانین کی مدد سے پھیلائیں۔

1. $\log 11-\log 5$۔

Answer: $\log 11-\log 5$

س13(ii) — پھیلائیں: ${\log }_5\sqrt{8a^6}$

${\log }_5\sqrt{8a^6}$ کو پھیلائیں۔

1. $\frac{1}{2}({\log }_{5}8+6{\log }_{5}a)=\frac{1}{2}{\log }_{5}8+3{\log }_{5}a$۔

Answer: $\frac{1}{2}{\log }_{5}8+3{\log }_{5}a$

س13(iii) — پھیلائیں: $\ln \left(\frac{a^{2}b}{c}\right)$

$\ln \left(\frac{a^{2}b}{c}\right)$ کو پھیلائیں۔

1. $2\ln a+\ln b-\ln c$۔

Answer: $2\ln a+\ln b-\ln c$

س13(iv) — پھیلائیں: $\log {\left(\frac{xy}{z}\right)}^{\frac{1}{9}}$

$\log {\left(\frac{xy}{z}\right)}^{1/9}$ کو پھیلائیں۔

1. $\frac{1}{9}(\log x+\log y-\log z)$۔

Answer: $\frac{1}{9}(\log x+\log y-\log z)$

س13(v) — پھیلائیں: $\ln \sqrt[3]{16x^3}$

$\ln \sqrt[3]{16x^3}$ کو پھیلائیں۔

1. $\frac{1}{3}\ln 16+\ln x$، یا $\frac{4}{3}\ln 2+\ln x$۔

Answer: $\frac{1}{3}\ln 16+\ln x$

س13(vi) — پھیلائیں: ${\log }_2{\left(\frac{1-a}{b}\right)}^5$

${\log }_2{\left(\frac{1-a}{b}\right)}^5$ کو پھیلائیں۔

1. $5{\log }_2(1-a)-5{\log }_{2}b$۔

Answer: $5{\log }_2(1-a)-5{\log }_{2}b$

س13(vii) — پھیلائیں: $\log (xy{z}^6)$

$\log (xy{z}^6)$ کو پھیلائیں۔

1. $\log x+\log y+6\log z$۔

Answer: $\log x+\log y+6\log z$

س13(viii) — پھیلائیں: ${\log }_3\sqrt[6]{m^5{n}^3}$

${\log }_3\sqrt[6]{m^5{n}^3}$ کو پھیلائیں۔

1. $\frac{5}{6}{\log }_{3}m+\frac{1}{2}{\log }_{3}n$۔

Answer: $\frac{5}{6}{\log }_{3}m+\frac{1}{2}{\log }_{3}n$

س13(ix) — پھیلائیں: $\log \sqrt{8x^3}$

$\log \sqrt{8x^3}$ کو پھیلائیں۔

1. $\frac{3}{2}\log 2+\frac{3}{2}\log x$۔

Answer: $\frac{3}{2}\log 2+\frac{3}{2}\log x$

س14(i) — $\frac{3.68\times 4.21}{5.234}$

لوگارتھم جدول سے $\frac{3.68\times 4.21}{5.234}$ معلوم کریں۔

1. لوگ کا مجموعہ/فرق $=0.5659+0.6243-0.7188=0.4714$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 2.961$۔

Answer: $\approx 2.961$

س14(ii) — $4.67\times 2.11\times 2.397$

لوگارتھم جدول سے $4.67\times 2.11\times 2.397$ معلوم کریں۔

1. لوگ کا مجموعہ $=1.3731$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 23.61$۔

Answer: $\approx 23.61$

س14(iii) — $\frac{(20.46{)}^2\times 2.4122}{754.3}$

لوگارتھم جدول سے $\frac{(20.46{)}^2\times 2.4122}{754.3}$ معلوم کریں۔

1. نتیجے کا لوگ $=3.0044-2.8778=0.1266$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 1.339$۔

Answer: $\approx 1.339$

س14(iv) — $\frac{\sqrt[3]{9.364}\times 21.64}{3.21}$

لوگارتھم جدول سے $\frac{\sqrt[3]{9.364}\times 21.64}{3.21}$ معلوم کریں۔

1. نتیجے کا لوگ $=1.1525$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 14.21$۔

Answer: $\approx 14.21$

س14(v) — $\sqrt[3]{68.24}$

لوگارتھم جدول سے $\sqrt[3]{68.24}$ معلوم کریں۔

1. $\log 68.24÷3=0.6114$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 4.088$۔

Answer: $\approx 4.088$

س14(vi) — $319.8\times 3.543$

لوگارتھم جدول سے $319.8\times 3.543$ معلوم کریں۔

1. لوگ کا مجموعہ $=3.0542$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 1133$۔

Answer: $\approx 1133$

س14(vii) — $\frac{36.12\times 750.9}{113.2\times 9.98}$

لوگارتھم جدول سے $\frac{36.12\times 750.9}{113.2\times 9.98}$ معلوم کریں۔

1. نتیجے کا لوگ $=4.4335-3.0528=1.3807$۔
2. اینٹی لوگ $\approx 24.03$۔

Answer: $\approx 24.03$

ع5 — زلزلے کی شدت

$M={\log }_{10}\left(\frac{A}{A_o}\right)$ سے $M$ معلوم کریں جب $A=10,000$ اور $A_o=10$۔

1. $\frac{A}{A_o}=1000$۔
2. $M={\log }_{10}1000=3$۔

Answer: $M=3$

ع6 — سرمایہ کاری دوگنی ہونے کے سال

$y=100,000(1.05{)}^t$۔ $t$ معلوم کریں جب سرمایہ کاری دوگنی ($y=200,000$) ہو۔

1. $2=(1.05{)}^t$۔
2. $t=\frac{\log 2}{\log 1.05}=\frac{0.3010}{0.0212}$۔

Answer: $t\approx 14.2$ سال

ع7 — اونچائی پر درجہ حرارت

$T=T_i\times 0.97^{h/100}$، $T_i=20°C$۔ $h=500$ میٹر پر $T$ معلوم کریں۔

1. $T=20\times 0.97^5$۔
2. $0.97^5\approx 0.8587$۔

Answer: $T\approx 17.2^{\circ }C$

ع8 — آبادی کی نمو

$p(t)=22(1.025{)}^t$ (ملین)، $t$ سال 2016 کے بعد۔ آبادی $35$ ملین تک پہنچنے کا سال معلوم کریں۔

1. $(1.025{)}^t=\frac{35}{22}\approx 1.5909$۔
2. $t=\frac{\log 1.5909}{\log 1.025}\approx 18.8\approx 19$ سال۔
3. سال $=2016+19$۔

Answer: تقریباً سال $2035$