10th Class Math Chapter 5 Notes

مثال 1 — کسر کو کم کرنا

$\frac{4x^2-9y^2}{4x^2+6xy}$ کو کم ترین شکل میں لائیے۔

1. نیومریٹر: $(2x-3y)(2x+3y)$۔
2. ڈینومینیٹر: $2x(2x+3y)$۔
3. $(2x+3y)$ کاٹ دیں۔

Answer: $\frac{2x-3y}{2x}$

مثال 2 — عاملیت شدہ ڈینومینیٹرز کے ساتھ تفریق

$\frac{3}{x-y}+\frac{1}{y-x}$ کو آسان کیجیے۔

1. $y-x=-(x-y)$، لہٰذا $\frac{1}{y-x}=\frac{-1}{x-y}$۔
2. $\frac{3}{x-y}-\frac{1}{x-y}=\frac{2}{x-y}$۔

Answer: $\frac{2}{x-y}$

مثال 3 — الجبری کسور کی ضرب

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x-4}\times \frac{2x^2+8x}{3x+6}$ کو آسان کیجیے۔

1. عاملیت کریں: $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+4)(x-1)}\times \frac{2x(x+4)}{3(x+2)}$۔
2. $(x-1)$ اور $(x+4)$ کاٹ دیں: $(x-2)\times \frac{2x}{3(x+2)}$۔

Answer: $\frac{2x(x-2)}{3(x+2)}$

مثال 4 — چار درجی (Biquadratic) مساوات

$5x^4-19x^2+12=0$ حل کیجیے۔

1. فرض کریں $y=x^2$: $5y^2-19y+12=0$۔
2. عاملیت کریں: $(5y-4)(y-3)=0\Rightarrow y=\frac{4}{5}$ یا $y=3$۔
3. $x^2=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$؛ $x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$۔

Answer: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}},\pm \sqrt{3}$

مثال 5 — متبادل سے قوت نمائی مساوات

$4\cdot 2^{2x+1}-9\cdot 2^x+1=0$ حل کیجیے۔

1. $2^{2x+1}=2\cdot (2^x{)}^2$، لہٰذا مساوات $8(2^x{)}^2-9(2^x)+1=0$ ہے۔
2. فرض کریں $y=2^x$: $8y^2-9y+1=0\Rightarrow (8y-1)(y-1)=0$۔
3. $y=\frac{1}{8}\Rightarrow 2^x=2^{-3}\Rightarrow x=-3$؛ $y=1\Rightarrow 2^x=1\Rightarrow x=0$۔

Answer: $x=-3$ یا $x=0$

مثال 6 — متناظر مساوات

$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2\left(x+\frac{1}{x}\right)=11$ حل کیجیے (خاکہ)۔

1. فرض کریں $y=x+\frac{1}{x}$، لہٰذا $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$۔
2. متبادل رکھیں: $(y^2-2)+2y=11\Rightarrow y^2+2y-13=0$، اب یہ $y$ میں عام تربیعی مساوات ہے۔
3. $y$ کے لیے حل کریں، پھر ہر قیمت کے لیے $x+\frac{1}{x}=y$ (خود $x$ میں تربیعی) حل کریں۔

Answer: دو تربیعی مساوات یکے بعد دیگرے حل ہوتی ہیں: پہلے $y$ کے لیے، پھر $x$ کے لیے

مثال 7 — دو کارکن اکٹھے

عرشیہ اور ابراہیم اکٹھے ایک کام $4$ گھنٹوں میں مکمل کرتے ہیں؛ عرشیہ اکیلی $6$ گھنٹے لیتی ہے۔ ابراہیم اکیلا کتنا وقت لے گا؟

1. $\frac{1}{6}+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}$۔
2. $\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}$۔

Answer: $12$ گھنٹے