10th Class Math Chapter 3 Notes

مثال 1 — میٹرکس کی برابری

اگر $\left[\begin{array}{cc}a+2& c-3\\ b-1& d+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 8\\ 6& 4\end{array}\right]$ ہو تو $a,b,c,d$ معلوم کیجیے۔

1. ہر عنصر ملائیں: $a+2=5$، $c-3=8$، $b-1=6$، $d+4=4$۔

Answer: $a=3,b=7,c=11,d=0$

مثال 2 — ٹرانسپوز

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right]$ کا ٹرانسپوز معلوم کیجیے۔

1. قطاریں کالم بن جاتی ہیں۔

Answer: $A^t=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]$

مثال 3 — میٹرکس ضرب دینا

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\end{array}\right]$، $B=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$ کے لیے $AB$ معلوم کیجیے۔

1. $A$ کی قطار 1 کو $B$ کے ہر کالم سے ضرب دیں: $(1)(3)+(2)(2)=7$؛ $(1)(1)+(2)(4)=9$۔
2. $A$ کی قطار 2 کو $B$ کے ہر کالم سے ضرب دیں: $(-1)(3)+(0)(2)=-3$؛ $(-1)(1)+(0)(4)=-1$۔

Answer: $AB=\left[\begin{array}{cc}7& 9\\ -3& -1\end{array}\right]$

مثال 4 — ڈیٹرمیننٹ اور واحدیت

$A=\left[\begin{array}{cc}x& 6\\ 5& 15\end{array}\right]$ کو واحد بنانے کے لیے $x$ معلوم کیجیے۔

1. واحد یعنی $\det A=0$: $15x-30=0$۔

Answer: $x=2$

مثال 5 — میٹرکس کا معکوس

$A=\left[\begin{array}{cc}5& -3\\ 2& -1\end{array}\right]$ کا $A^{-1}$ معلوم کیجیے۔

1. $\det A=5(-1)-(-3)(2)=-5+6=1$۔
2. adj$(A)=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -2& 5\end{array}\right]$۔
3. $A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -2& 5\end{array}\right]$۔

Answer: $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -2& 5\end{array}\right]$

مثال 6 — کریمر کا اصول

$2x+5y=19$، $4x-3y=-1$ کریمر کے اصول سے حل کیجیے۔

1. $\det M=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& -3\end{array}\right|=-6-20=-26$۔
2. $\det M_x=\left|\begin{array}{cc}19& 5\\ -1& -3\end{array}\right|=-57+5=-52$؛ $x=\frac{-52}{-26}=2$۔
3. $\det M_y=\left|\begin{array}{cc}2& 19\\ 4& -1\end{array}\right|=-2-76=-78$؛ $y=\frac{-78}{-26}=3$۔

Answer: $x=2,y=3$