10th Class Math Chapter 2 Notes in Urdu PDF 2026 – تربیعی مساوات اور عدم مساوات

معیاری شکل $a x^{2} + b x + c = 0$ ہے۔ عاملیت درمیانی ٹرم کو تقسیم کرتی ہے (9ویں جماعت کے باب 4 کی طرح)؛ مربع مکمل کرنا مساوات کو ایک کامل مربع کے برابر ایک مستقل میں بدل دیتا ہے۔

مثال 1 — عاملیت

$x^{2} - x - 6 = 0$ حل کیجیے۔

دو اعداد جن کا ضرب $- 6$ اور جمع $- 1$ ہو: $- 3, 2$ ۔
$(x - 3) (x + 2) = 0$ ۔

Answer: $x = 3$ یا $x = - 2$

مثال 2 — مربع مکمل کرنا

$x^{2} + x = 42$ حل کیجیے۔

دونوں اطراف $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ جمع کریں: $x^{2} + x + \frac{1}{4} = 42 + \frac{1}{4}$ ۔
$(x + \frac{1}{2})^{2} = \frac{169}{4}$ ۔
$x + \frac{1}{2} = \pm \frac{13}{2}$ ۔

Answer: $x = 6$ یا $x = - 7$

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

ممیز $D = b^{2} - 4 a c$

Rule

$D > 0$ اور کامل مربع: حقیقی، راجن، غیر مساوی جڑیں۔

$D > 0$ ، کامل مربع نہیں: حقیقی، اراجن، غیر مساوی جڑیں۔

$D = 0$ : حقیقی، مساوی جڑیں (دہرائی گئی جڑ)۔

$D < 0$ : کوئی حقیقی جڑ نہیں (مختلط conjugate جڑیں)۔

مثال 3 — جڑوں کی نوعیت

$x^{2} + 6 x + 9 = 0$ کی جڑوں کی نوعیت جانچیے۔

$D = 6^{2} - 4 (1) (9) = 36 - 36 = 0$ ۔

Answer: $D = 0$ — حقیقی اور مساوی جڑیں

مثال 4 — مساوی جڑوں کی شرط

اگر $16 x^{2} + 7 k x + 49 = 0$ کی جڑیں مساوی ہوں تو $k$ معلوم کیجیے۔

مساوی جڑیں $\Rightarrow D = 0$ : $(7 k)^{2} - 4 (16) (49) = 0$ ۔
$49 k^{2} = 3136 \Rightarrow k^{2} = 64$ ۔

Answer: $k = \pm 8$

$a x^{2} + b x + c = 0$ کی جڑیں $α, β$ کے لیے: $α + β = - \frac{b}{a}$ ، $α β = \frac{c}{a}$

مثال 5 — جڑوں سے مساوات بنانا

$- 4$ اور $9$ جڑوں والی تربیعی مساوات بنائیے۔

جمع $= - 4 + 9 = 5$ ؛ ضرب $= (- 4) (9) = - 36$ ۔
مساوات $x^{2} - S x + P = 0$ ( $S$ =جمع، $P$ =ضرب) میں رکھیں۔

Answer: $x^{2} - 5 x - 36 = 0$

مثال 6 — کسی اور مساوات کی جڑوں سے متعلق جڑیں

$x^{2} - p x + q = 0$ کی جڑوں سے دگنی جڑوں والی مساوات معلوم کیجیے۔

اصل: $α + β = p$ ، $α β = q$ ۔
نئی جڑیں $2 α, 2 β$ : جمع $= 2 (α + β) = 2 p$ ؛ ضرب $= 4 α β = 4 q$ ۔

Answer: $x^{2} - 2 p x + 4 q = 0$

پہلے جڑیں معلوم کریں (یہ عدد لائن کو حصوں میں تقسیم کرتی ہیں)، پھر ہر حصے سے ایک نقطہ اصل عدم مساوات میں آزمائیں۔

مثال 7 — تربیعی عدم مساوات حل کرنا

$x^{2} + x - 6 < 0$ حل کیجیے۔

عاملیت کریں: $(x + 3) (x - 2) < 0$ ، جڑیں $- 3, 2$ ۔
حصے: $x < - 3$ ، $- 3 < x < 2$ ، $x > 2$ ۔ $x = 0$ آزمائیں: $(0 + 3) (0 - 2) = - 6 < 0$ — درست۔
درمیانی حصہ درست ہے (اوپر کھلنے والا پیرابولا صرف اپنی جڑوں کے درمیان منفی ہوتا ہے)۔

Answer: $- 3 < x < 2$

مثال 8 — متغیر کو موضوع بنانا

بیلن کا حجم $V = π r^{2} h$ ہے۔ $h$ کو موضوع بنائیے۔

دونوں اطراف $π r^{2}$ سے تقسیم کریں۔

Answer: $h = \frac{V}{π r ^{2}}$

مثال 9 — زیادہ سے زیادہ اونچائی

ایک گیند کی اونچائی $h (t) = - 4 t^{2} + 24 t$ ہے۔ معلوم کیجیے یہ زمین پر کب واپس آئے گی ( $h = 0$ )۔

$- 4 t^{2} + 24 t = 0 \Rightarrow - 4 t (t - 6) = 0$ ۔
$t = 0$ یا $t = 6$ ۔

Answer: یہ $t = 6$ سیکنڈ پر زمین پر آتی ہے

خلاصہ (Quick Recap)

●عاملیت، مربع مکمل کرنے، یا $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ سے حل کریں
● $D = b^{2} - 4 a c$ : $D > 0$ غیر مساوی حقیقی جڑیں (کامل مربع ہو تو راجن)؛ $D = 0$ مساوی حقیقی جڑیں؛ $D < 0$ کوئی حقیقی جڑ نہیں
● $α + β = - \frac{b}{a}$ ، $α β = \frac{c}{a}$ — نئی مساوات $x^{2} - S x + P = 0$ سے بنائیں ( $S$ =جمع، $P$ =ضرب)
●تربیعی عدم مساوات: جڑیں معلوم کریں، پھر ہر بننے والے حصے میں ایک نقطہ آزمائیں
●موضوع بدلنا: مطلوبہ حرف کو معکوس عوامل سے الگ کریں، بالکل کسی بھی مساوات کی طرح

10th Class Math Chapter 2 Notes

عاملیت اور مربع مکمل کرنے سے حل کرنا

تربیعی فارمولا اور ممیز (Discriminant)

جڑوں کا جمع اور ضرب

تربیعی عدم مساوات

فارمولے کا موضوع بدلنا

استعمال: تربیعی ماڈلز

More 10th Class Math notes

Complex Numbers — Solved Exercises

Matrices and Determinants

Algebraic Fractions

Algebraic Fractions

Vectors in Plane

Vectors in Plane