10th Class Math Chapter 1 Notes

س1 — سادہ کریں: $i^5$

سادہ کریں۔

1. $i^5=i^4\cdot i=1\cdot i$۔

Answer: $i$

س2 — سادہ کریں: $i^{16}$

سادہ کریں۔

1. $i^{16}=(i^4{)}^4=1^4$۔

Answer: $1$

س3 — سادہ کریں: $(-i{)}^{-19}$

سادہ کریں۔

1. $(-i{)}^{19}=[(-i{)}^4{]}^4(-i{)}^3=1\cdot i=i$ (چونکہ $(-i{)}^2=-1,(-i{)}^3=i$)۔
2. $(-i{)}^{-19}=1/i=-i$۔

Answer: $-i$

س4 — سادہ کریں: $27i^{-26}$

سادہ کریں۔

1. $i^{26}=i^{24}\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$۔
2. $27i^{-26}=27/(-1)$۔

Answer: $-27$

س5 — سادہ کریں: $i^{11}+i^5$

سادہ کریں۔

1. $i^{11}=i^8\cdot i^3=-i$؛ $i^5=i$۔
2. مجموعہ $=-i+i$۔

Answer: $0$

س6 — سادہ کریں: $(i^4+i^3+i^2+i{)}^2$

سادہ کریں۔

1. $1+(-i)+(-1)+i=0$۔
2. $0^2=0$۔

Answer: $0$

س7 — سادہ کریں: ${\left(\frac{i^8}{i^5}\right)}^{-5}$

سادہ کریں۔

1. $i^8/i^5=i^3=-i$۔
2. $(-i{)}^{-5}=1/(-i{)}^5=1/(-i)=i$ (چونکہ $(-i{)}^5=(-i{)}^4(-i)=-i$)۔

Answer: $i$

س8 — سادہ کریں: $i^{13}\times i^{29}$

سادہ کریں۔

1. $i^{13+29}=i^{42}=i^{40}\cdot i^2=1\cdot (-1)$۔

Answer: $-1$

س9 — $i$ کی شکل میں لکھیں: $2+\sqrt{-4}$

$i$ کی شکل میں اظہار کریں۔

1. $\sqrt{-4}=2i$۔

Answer: $2+2i$

س10 — $i$ کی شکل میں لکھیں: $3-\sqrt{-7}$

$i$ کی شکل میں اظہار کریں۔

1. $\sqrt{-7}=\sqrt{7}i$۔

Answer: $3-\sqrt{7}i$

س11 — $i$ کی شکل میں لکھیں: $\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{-16}}{5}$

$i$ کی شکل میں اظہار کریں۔

1. $\sqrt{-16}=4i$۔

Answer: $\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i$

س12 — $i$ کی شکل میں لکھیں: $\sqrt{2}-\sqrt{-3}$

$i$ کی شکل میں اظہار کریں۔

1. $\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$۔

Answer: $\sqrt{2}-\sqrt{3}i$

س13 — $(2x+5)+(y-3)i=1+2i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. حقیقی: $2x+5=1\Rightarrow x=-2$۔
2. تخیلی: $y-3=2\Rightarrow y=5$۔

Answer: $x=-2,y=5$

س14 — $(3x+2)-(4-y)i=5+3i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. حقیقی: $3x+2=5\Rightarrow x=1$۔
2. تخیلی: $-(4-y)=3\Rightarrow y=7$۔

Answer: $x=1,y=7$

س15 — $(2+i)x+(1-2i)y=3+4i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. پھیلائیں: $(2x+y)+(x-2y)i=3+4i$۔
2. $2x+y=3$، $x-2y=4$؛ حل سے $x=2,y=-1$۔

Answer: $x=2,y=-1$

س16 — $(1-i)x+(2+i)y=4-i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. پھیلائیں: $(x+2y)+(-x+y)i=4-i$۔
2. $x+2y=4$، $-x+y=-1$؛ حل سے $x=2,y=1$۔

Answer: $x=2,y=1$

س17 — $(3x-1)+(2y-3)i=8+7i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. حقیقی: $3x-1=8\Rightarrow x=3$۔
2. تخیلی: $2y-3=7\Rightarrow y=5$۔

Answer: $x=3,y=5$

س18 — $(2+5i)+(3-zi)$

سادہ کریں اور $a+bi$ کی شکل میں لکھیں ($z$ کو دیے گئے مستقل کے طور پر لیں، جیسا ماخذ میں چھپا ہے)۔

1. حقیقی اور تخیلی حصے الگ الگ ملائیں: $(2+3)+(5-z)i$۔

Answer: $5+(5-z)i$

س19 — $(16-3i)+(9+2i)$

سادہ کریں۔

1. $(16+9)+(-3+2)i$۔

Answer: $25-i$

س20 — $(9-2i)-(7-3i)$

سادہ کریں۔

1. $(9-7)+(-2+3)i$۔

Answer: $2+i$

س21 — $(11+9i)-(9-7i)$

سادہ کریں۔

1. $(11-9)+(9+7)i$۔

Answer: $2+16i$

س22 — $(3+4i)(2-3i)$

سادہ کریں۔

1. $6-9i+8i-12i^2=6-i+12$۔

Answer: $18-i$

س23 — $(5-2i)(3-4i)$

سادہ کریں۔

1. $15-20i-6i+8i^2=15-26i-8$۔

Answer: $7-26i$

س24 — $(3-5i)÷(2-4i)$

سادہ کریں۔

1. مشترکہ $\frac{2+4i}{2+4i}$ سے ضرب: صورت $=(3-5i)(2+4i)=6+2i+20=26+2i$؛ مخرج $=4+16=20$۔

Answer: $\frac{13}{10}+\frac{1}{10}i$

س25 — $(5+2i)÷(6-3i)$

سادہ کریں۔

1. $\frac{6+3i}{6+3i}$ سے ضرب: صورت $=(5+2i)(6+3i)=30+27i-6=24+27i$؛ مخرج $=36+9=45$۔

Answer: $\frac{8}{15}+\frac{3}{5}i$

س26 — $3+2i$ کا جمعی معکوس

جمعی معکوس معلوم کریں۔

1. دونوں حصوں کی نفی کریں۔

Answer: $-3-2i$

س27 — $4-3i$ کا جمعی معکوس

جمعی معکوس معلوم کریں۔

1. دونوں حصوں کی نفی کریں۔

Answer: $-4+3i$

س28 — $5-7i$ کا جمعی معکوس

جمعی معکوس معلوم کریں۔

1. دونوں حصوں کی نفی کریں۔

Answer: $-5+7i$

س29 — $-\frac{2}{3}+\frac{5}{4}i$ کا جمعی معکوس

جمعی معکوس معلوم کریں۔

1. دونوں حصوں کی نفی کریں۔

Answer: $\frac{2}{3}-\frac{5}{4}i$

س30 — $4+5i$ کا ضربی معکوس

ضربی معکوس معلوم کریں۔

1. $a+bi$ کا معکوس $\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{4-5i}{16+25}$ ہے۔

Answer: $\frac{4-5i}{41}$

س31 — $6+2i$ کا ضربی معکوس

ضربی معکوس معلوم کریں۔

1. $\frac{6-2i}{36+4}=\frac{6-2i}{40}$۔

Answer: $\frac{3-i}{20}$

س32 — $7-3i$ کا ضربی معکوس

ضربی معکوس معلوم کریں۔

1. $\frac{7+3i}{49+9}$۔

Answer: $\frac{7+3i}{58}$

س33 — $\sqrt{5}-4i$ کا ضربی معکوس

ضربی معکوس معلوم کریں۔

1. $\frac{\sqrt{5}+4i}{5+16}$۔

Answer: $\frac{\sqrt{5}+4i}{21}$

س34 — $\frac{(1+i{)}^2}{2-i}=x+iy$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. $(1+i{)}^2=2i$۔
2. $\frac{2i}{2-i}\times \frac{2+i}{2+i}=\frac{4i+2i^2}{5}=\frac{-2+4i}{5}$۔

Answer: $x=-\frac{2}{5},y=\frac{4}{5}$

س35 — $(2x+iy)(1-i)=4+2i$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. پھیلائیں: $(2x+y)+(-2x+y)i=4+2i$۔
2. $2x+y=4$، $-2x+y=2$؛ تفریق سے $4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$، $y=3$۔

Answer: $x=\frac{1}{2},y=3$

س36 — $a,b$ معلوم کریں: $(a+bi)(1+3i)=-8+11i$

$a$ اور $b$ معلوم کریں۔

1. پھیلائیں: $(a-3b)+(3a+b)i=-8+11i$۔
2. $a-3b=-8$، $3a+b=11\Rightarrow b=11-3a$؛ رکھنے سے $10a=25\Rightarrow a=2.5$، $b=3.5$۔

Answer: $a=\frac{5}{2},b=\frac{7}{2}$

س37 — $|4+3i|$

مطلق قدر معلوم کریں۔

1. $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$۔

Answer: $5$

س38 — $|-5-4i|$

مطلق قدر معلوم کریں۔

1. $\sqrt{25+16}$۔

Answer: $\sqrt{41}$

س39 — $\left|\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\right|$

مطلق قدر معلوم کریں۔

1. $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}$۔

Answer: $1$

س40 — $|-\sqrt{2}-\sqrt{3}i|$

مطلق قدر معلوم کریں۔

1. $\sqrt{2+3}$۔

Answer: $\sqrt{5}$

س41 — $Re(z_1{z}_2)$ برائے $z_1=2+3i,z_2=-1+i$

$Re(z_1{z}_2)$ معلوم کریں۔

1. $z_1{z}_2=(2+3i)(-1+i)=-2+2i-3i+3i^2=-2-i-3=-5-i$۔

Answer: $-5$

س42 — $Im(z_1{z}_2)$ (وہی $z_1,z_2$)

$Im(z_1{z}_2)$ معلوم کریں۔

1. اوپر سے، $z_1{z}_2=-5-i$۔

Answer: $-1$

س43 — $(8-3i{)}^2$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. $64-48i+9i^2=64-48i-9=55-48i$۔

Answer: $Re=55,Im=-48$

س44 — $(5+3i{)}^{-1}$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. $\frac{5-3i}{25+9}=\frac{5-3i}{34}$۔

Answer: $Re=\frac{5}{34},Im=-\frac{3}{34}$

س45 — $(4-5i{)}^{-1}$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. $\frac{4+5i}{16+25}=\frac{4+5i}{41}$۔

Answer: $Re=\frac{4}{41},Im=\frac{5}{41}$

س46 — $(4-3i{)}^{-2}$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. $(4-3i{)}^2=16-24i-9=7-24i$۔
2. معکوس: $\frac{7+24i}{49+576}=\frac{7+24i}{625}$۔

Answer: $Re=\frac{7}{625},Im=\frac{24}{625}$

س47 — ${\left(\frac{3+2i}{4+3i}\right)}^{-1}$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. معکوس کسر الٹتا ہے: $\frac{4+3i}{3+2i}\times \frac{3-2i}{3-2i}=\frac{12-8i+9i+6}{13}=\frac{18+i}{13}$۔

Answer: $Re=\frac{18}{13},Im=\frac{1}{13}$

س48 — ${\left(\frac{2-i}{2+i}\right)}^{-2}$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. معکوس مربع $={\left(\frac{2+i}{2-i}\right)}^2$؛ $\frac{2+i}{2-i}=\frac{(2+i{)}^2}{5}=\frac{3+4i}{5}$۔
2. مربع: $\frac{9+24i-16}{25}=\frac{-7+24i}{25}$۔

Answer: $Re=-\frac{7}{25},Im=\frac{24}{25}$

س49 — ${\left(\frac{1-2i}{1+i}\right)}^2$

حقیقی اور تخیلی حصے معلوم کریں۔

1. $\frac{1-2i}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-3i-2}{2}=\frac{-1-3i}{2}$۔
2. مربع: $\frac{1+6i-9}{4}=\frac{-8+6i}{4}=\frac{-4+3i}{2}$۔

Answer: $Re=-2,Im=\frac{3}{2}$

س50 — $3z+(2+i)w=11-i$، $(2-i)z-w=-1+i$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. دوسری مساوات سے: $w=(2-i)z+1-i$۔
2. پہلی میں رکھیں: $3z+5z+3-i=11-i\Rightarrow 8z=8\Rightarrow z=1$۔
3. $w=(2-i)(1)+1-i=3-2i$۔

Answer: $z=1,w=3-2i$

س51 — $2z+(3+i)w=9-i$، $-iz-iw=-1+i$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. دوسری مساوات $÷(-i)$: $z+w=-1-i\Rightarrow z=-1-i-w$۔
2. پہلی میں رکھیں: $-2-2i+w(1+i)=9-i\Rightarrow w=\frac{11+i}{1+i}=6-5i$۔
3. $z=-1-i-(6-5i)=-7+4i$۔

Answer: $z=-7+4i,w=6-5i$

س52 — $z-4w=3i$، $2z+3w=11-5i$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. پہلی سے: $z=3i+4w$۔
2. رکھیں: $6i+8w+3w=11-5i\Rightarrow 11w=11-11i\Rightarrow w=1-i$۔
3. $z=3i+4(1-i)=4-i$۔

Answer: $z=4-i,w=1-i$

س53 — $z+w=3i$، $2z+3w=2$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. پہلی سے: $z=3i-w$۔
2. رکھیں: $6i-2w+3w=2\Rightarrow w=2-6i$۔
3. $z=3i-(2-6i)=-2+9i$۔

Answer: $z=-2+9i,w=2-6i$

س54 — $2z+(3+i)w=1$، $-z-(1-i)w=2$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. دوسری سے: $z=-2-(1-i)w$۔
2. پہلی میں رکھیں: $-4+w(1+3i)=1\Rightarrow w=\frac{5}{1+3i}=\frac{1-3i}{2}$۔
3. $z=-2-(1-i)\cdot \frac{1-3i}{2}=-2-(-1-2i)=-1+2i$۔

Answer: $z=-1+2i,w=\frac{1-3i}{2}$

س55 — سادہ کریں: $i^{37}$

سادہ کریں۔

1. $i^{37}=i^{36}\cdot i=1\cdot i$۔

Answer: $i$

س56 — سادہ کریں: $i^{13}\times i^{11}$

سادہ کریں۔

1. $i^{24}=(i^4{)}^6=1$۔

Answer: $1$

س57 — سادہ کریں: $(-i{)}^{-9}$

سادہ کریں۔

1. $(-i{)}^9=(-i{)}^8(-i)=1\cdot (-i)=-i$۔
2. $(-i{)}^{-9}=1/(-i)=i$۔

Answer: $i$

س58 — سادہ کریں: $(3-4i)(5-6i)$

سادہ کریں۔

1. $15-18i-20i+24i^2=15-38i-24$۔

Answer: $-9-38i$

س59 — سادہ کریں: $(3+4i)÷(5-7i)$

سادہ کریں۔

1. $\frac{5+7i}{5+7i}$ سے ضرب: صورت $=(3+4i)(5+7i)=15+41i-28=-13+41i$؛ مخرج $=25+49=74$۔

Answer: $\frac{-13+41i}{74}$

س60 — $z=8+9i$ کا جمعی اور ضربی معکوس

دونوں معکوس معلوم کریں۔

1. جمعی: $-8-9i$۔
2. ضربی: $\frac{8-9i}{64+81}=\frac{8-9i}{145}$۔

Answer: جمعی: $-8-9i$؛ ضربی: $\frac{8-9i}{145}$

س61 — $z_1{z}_2$ معلوم کریں

حاصل ضرب معلوم کریں۔

1. $(5+4i)(3+2i)=15+10i+12i+8i^2=15+22i-8$۔

Answer: $7+22i$

س62 — $\frac{z_1}{z_2}$ معلوم کریں

حاصل تقسیم معلوم کریں۔

1. $\frac{3-2i}{3-2i}$ سے ضرب: صورت $=(5+4i)(3-2i)=15+2i+8=23+2i$؛ مخرج $=9+4=13$۔

Answer: $\frac{23+2i}{13}$

س63 — $\overline{z_1}\overline{z_2}$ معلوم کریں

مشترک اعداد کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

1. $(5-4i)(3-2i)=15-10i-12i+8i^2=15-22i-8$۔

Answer: $7-22i$

س64 — $|z_1{z}_2|$ معلوم کریں

حاصل ضرب کا مطلق قدر معلوم کریں۔

1. $z_1{z}_2=7+22i$ (س61 سے)؛ $|7+22i|=\sqrt{49+484}$۔

Answer: $\sqrt{533}$

س65 — $z=(2+7i{)}^{-1}$ کے حقیقی/تخیلی حصے

$Re(z)$ اور $Im(z)$ معلوم کریں۔

1. $\frac{2-7i}{4+49}=\frac{2-7i}{53}$۔

Answer: $Re=\frac{2}{53},Im=-\frac{7}{53}$

س66 — $iz+(2-i)w=4+i$، $iz+(3+i)w=3+3i$

$z$ اور $w$ حل کریں۔

1. تفریق سے: $(1+2i)w=-1+2i\Rightarrow w=\frac{-1+2i}{1+2i}\times \frac{1-2i}{1-2i}=\frac{3+4i}{5}$۔
2. $(2-i)w=(2-i)\frac{3+4i}{5}=\frac{10+5i}{5}=2+i$۔
3. پہلی سے: $iz=4+i-(2+i)=2\Rightarrow z=2/i=-2i$۔

Answer: $z=-2i,w=\frac{3+4i}{5}$

س67 — حل کریں $(3-4i)(a+bi)=1+0i$

$a$ اور $b$ معلوم کریں۔

1. پھیلائیں: $(3a+4b)+(3b-4a)i=1+0i$۔
2. $3a+4b=1$، $3b-4a=0\Rightarrow b=\frac{4a}{3}$؛ رکھنے سے $\frac{25a}{3}=1\Rightarrow a=\frac{3}{25}$، $b=\frac{4}{25}$۔

Answer: $a=\frac{3}{25},b=\frac{4}{25}$

س68 — حل کریں $(3-2i)(x+yi)=2(x-2yi)+2i-1$

$x$ اور $y$ معلوم کریں۔

1. بائیں طرف $=(3x+2y)+(3y-2x)i$؛ دائیں طرف $=(2x-1)+(2-4y)i$۔
2. حقیقی: $x+2y=-1$۔ تخیلی: $7y-2x=2$۔
3. $x=-1-2y$ رکھنے سے: $11y=0\Rightarrow y=0$، $x=-1$۔

Answer: $x=-1,y=0$